Cosmologia matemática e teoria dos poliedros

... Este é um monóedro que inventei em um dia de chuva. Se observar bem, trata-se de um poliedro com apenas uma face e um único lado. Se tomarmos um ponto na única face e aplicarmos um vetor normal, fazendo-o dar uma volta completa, ele reaparece após uma rotação de 90°. Só no quarto giro é que ele retorna à sua posição original.

... Desenhei acima "por capricho", imaginando-o mentalmente. Mas agora existem programas capazes de lidar com objetos desse tipo. Quem já baixou (gratuitamente) o Cosmo Player ou estiver disposto a fazê-lo poderá admirar o trabalho do meu amigo Christophe Tardy sobre este monóedro. Enquanto isso, recriei com um código de desenhista a única aresta do objeto, tal como ele a extraiu de uma de suas imagens. A meu conhecimento, não existe software que use pontos para representar partes ocultas e interromper os traços. Mas poderíamos usar também uma nuvem mais clara.

... Independentemente disso, temos aqui esta única aresta, sem nenhum vértice.

... Curiosidade matemática? Talvez. Você talvez saiba, se já deu uma olhada em meus trabalhos científicos ou em suas introduções divulgativas, que desenvolvo um modelo cosmológico "de dois folhos", ideia inicialmente proposta por André Sakharov (1967). De forma acessória, esses dois "versantes do universo" têm coordenadas-tempo opostas. Essa questão do tempo ou dos tempos permanece delicada. Nada é mais escorregadio que essa palavra. O que é a "seta do tempo"? Seria possível falar de "duas setas do tempo antiparalelas"? (era essa a visão inicial de Sakharov).

... No trabalho que publiquei na revista Nuovo Cimento, em 1994, considerei a ideia, inicialmente sugerida por Linde em 1988, de que essas regiões "gêmeas" poderiam, na verdade, ser regiões "antípodas". Assim, esses dois universos gêmeos (ao contrário de Linde, os dois universos que imagino interagem, por meio do campo gravitacional, enquanto os dele se ignoram totalmente). São, portanto, "ao mesmo tempo dois e um". Um matemático diria que essa estrutura é a de um revestimento de dois folhos (a esfera S2 é o revestimento de dois folhos de uma superfície de Boy). Na Nuovo Cimento, eu considerava o revestimento de dois folhos de um projetivo P3 (equivalente de uma superfície de Boy tridimensional), colocando em coincidência regiões antípodas de uma hiperesfera S3. Mas sempre pensei que poderia, na verdade, tratar-se do revestimento de um projetivo P4, colocando em coincidência regiões antípodas de uma hiperesfera S4. Nesse caso, a interação entre duas regiões "adjacentes" desse cosmos, ao mesmo tempo único e duplo, colocaria em coincidência regiões antípodas (nessa hiperesfera S4) que não apenas seriam enantiomorfas (espelhadas, P-simétricas), mas também T-simétricas, ou seja, "com setas do tempo opostas". Voltamos assim à ideia de Andréi Sakharov.

... O monóedro é uma imagem (didática) de um cosmos de quatro folhos, um "cosmoedro". Um cosmos que seria "ao mesmo tempo um em quatro". Quatro regiões assim "adjacentes" interagiriam. Mas quais seriam essas regiões? Onde deveríamos "ler" sobre essa figura? A seção reta do monóedro (imagem didática simples) é um quadrado simples (pois é gerada pela rotação desse quadrado; veja a imagens em realidade virtual criadas por C. Tardy). Os quatro lados do quadrado-seção representam quatro regiões do cosmos que estariam em conjugação. Pode-se então falar, pelo menos localmente, de "revestimento de quatro folhos". Se assimilarmos a normal à superfície do monóedro à seta do tempo, ela gira ao mesmo tempo que o quadrado gerador. Assim, as quatro porções do universo teriam setas do tempo "em cruz", antiparalelas duas a duas:

... Também podemos descrever isso dizendo que há duas pares de universos gêmeos, cujas setas do tempo são antiparalelas duas a duas. É, de certa forma:

( Sakharov )²

... Por que tamanha complicação? Seria apenas uma nova recreação geométrica? Hmmmm... Vou lhe dizer o que tenho em mente. Quando construí o modelo com dois universos gêmeos, mostrei que o segundo cosmos poderia abrigar uma matéria inteiramente análoga à nossa, com seus prótons-irmãos, elétrons-irmãos, fótons irmãos, etc. (podemos usar a palavra "irmão", proposta por Sakharov, ou "fantasma", mais em voga no mundo das supercordas). Mostrei também que inverter o tempo equivale, na verdade, a inverter a massa, e portanto a energia.

... Linde era aluno de Sakharov. De fato, discuti longamente com ele em 1983, em Moscou, em um quarto do hotel Nacional onde ele havia vindo me encontrar. Em 1988, ele mencionou um cosmos duplo em que as duas matérias teriam energias opostas. Depois, percebendo os problemas que isso poderia causar para fazer coabitar essas duas matérias na mesma região do espaço-tempo, ele afastou "a outra matéria", de energia negativa, para os antípodas. Mas, ao fazer isso, não percebeu que estava reencontrando a ideia de seu mestre, Sakharov (que propunha tempos opostos), pois (J.M. Souriau, 1972) inverter o tempo ou inverter a massa e a energia é exatamente a mesma coisa. ... Se você tiver coragem ou competência para ler os artigos de Física Geométrica B, verá que a dualidade matéria também existe no cosmos gêmeo. Não apenas há uma matéria gêmea, mas também, nesse segundo versante do universo, existe uma antimateria gêmea.

... Tudo isso pode ser estendido a um contexto de quatro folhos. Obteríamos então uma matéria imaginária e uma matéria imaginária gêmea (com setas do tempo imaginárias puras, em relação a nós, antiparalelas entre si).

... Problema: como essa forma imaginária interagiria com a nossa? Devo confessar que, por enquanto, não tenho a menor ideia, mas encontrarei algo. A geometria é um mundo rico em artifícios de todo tipo. ... Vamos parar um instante nessa ideia. Que mundo imaginário é esse, em relação ao nosso? É um méta-mundo, etimologicamente falando. ... O arsenal do físico teórico e do cosmólogo, que não é outro que o de um bom geômetra, permite imaginar (como notou Linde em 1988) "mundos paralelos" povoados por partículas que poderiam ser idênticas às nossas, ou constituírem suas imagens em espelho (simetria P), ou seus duplos com energia negativa (simetria T), ou ambas as coisas ao mesmo tempo. Nesse ponto, por que não dar um salto ousado e imaginar partículas cujos parâmetros sejam puramente imaginários (massa, carga, seta do tempo, etc.)? Isso leva à ideia de um méta-mundo que poderia ser composto por partículas, obedecendo a uma física puramente imaginária, bastante semelhante à nossa, talvez, que então poderíamos chamar de meta-física.

... Não me lembro qual filósofo escreveu: "a metafísica é um grande oceano, e para atravessá-lo não temos nem barco, nem vela". Essa frase é uma condenação sem apelo? Pensemos. Há pouco tempo considerava-se, até que alguém conseguisse sintetizar a ureia (Wöhler, 1828), que "o vivo" estava "no domínio de Deus ou da Senhora Natureza", dependendo das opções. Admitamos que as coisas mudaram bastante desde então. ... Reformulando, "Deus" ou "Senhora Natureza" poderiam ser colocados em equações, aprisionados graças à geometria, à teoria dos grupos e à teoria dos campos (ou presos em uma rede tecida com supercordas, dependendo das opções)?

... Acredito que não se deve se proibir nada a priori, mas misturando ousadia e modéstia. A propósito de biologia, os grandes sucessos das últimas décadas nos dão a ilusão de que sabemos fazer muitas coisas, que "avanços consideráveis foram realizados" e que, afinal, em breve saberemos tudo sobre esse fenômeno chamado "Vida" (o que é a ótica desse eterno otimista que é Joël de Rosnais). É verdade: sabemos mapear uma molécula de DNA, segurar genes entre polegar e indicador, pegá-los aqui, levá-los ali, etc.

Impressionante.

... Mas, segundo Testard, "não funciona". Os genes assim transplantados perdem sua funcionalidade original, ou simplesmente deixam de funcionar. É claro que os transplantes de genes não gritam isso em todos os telhados. Mas Testard diz isso, o que incomoda muito. A engenharia genética permite produzir muita espuma, obter subsídios para patentear. Não sendo biólogo, não estou muito a par dessas coisas. Leia Testard (Homens prováveis, Seuil). A conclusão seria que, ao agirmos como cartógrafos, não progredimos tanto quanto esperávamos. "O DNA", diz Testard, é apenas uma base de dados. Segundo ele, essa molécula complexa não conteria "toda a inteligência da célula". Essa "inteligência", deveríamos buscá-la na própria célula, que seria "a verdadeira entidade viva elementar". Os transplantes de genes seriam como pessoas que, em uma casa, moveriam certos elementos, colocariam maçanetas e fechaduras em paredes, em vez de em portas com dobradiças, surpresas por não funcionarem, ligariam lâmpadas elétricas em tomadas de água, surpresas por não acenderem.

Pergunta aberta.

... Com esse cosmos de quatro folhos, há metafísica no ar. No pior dos casos, será apenas uma tentativa de geômetra, um assunto para se distrair entre amigos. No melhor... não sei.

... De qualquer forma, os universos gêmeos, como revestimento de dois folhos, merecem o qualificativo de "universos paralelos". Se assimilarmos suas setas do tempo à normal a uma superfície espacial e se essas setas forem antiparalelas, então os dois espaços são como duas camadas de tinta dispostas de ambos os lados de uma superfície 2D.

... No mesmo espírito, os outros dois universos, com suas setas do tempo puramente imaginárias, poderiam ser considerados "ortogonais ao nosso". Daí surge a ideia de um teorema, que talvez um dia venha a surgir:

Dois universos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si.

Assunto a acompanhar.