Representação poliédrica de um ponto cuspídeo, cálculo de sua curvatura concentrada.
Representações poliédricas de diferentes superfícies.
Permutação dos pontos cuspídeos de uma Cross cap.
Transformação de uma superfície de Boy "direita" em superfície de Boy "esquerda", via a superfície Romana de Steiner.
Inversão "direita"-"esquerda" de uma superfície de Boy.
Jean-Pierre Petit
Diretor de Pesquisa no CNRS
1988-1999
Resumo:
Apresentam-se alguns elementos que permitem representar pontos de curvatura concentrada: "posicones", "negacones" e seus equivalentes poliédricos: "posicoins" e "negacoins", que possibilitam construir representações poliédricas de diferentes superfícies e recuperar sua curvatura total. Assim, a representação poliédrica da superfície Romana de Steiner é constituída por quatro cubos adjuntos segundo suas arestas, tornando-a mais compreensível. Uma representação poliédrica da superfície de Boy já havia sido dada no Topologicon, 1985, Edições Belin, páginas 48 e 49, na forma de um recorte a montar. Na página 46 também apareciam representações poliédricas do toro e da garrafa de Klein. São apresentadas representações poliédricas da Cross-Cap. A curvatura total das diferentes imersões do plano projetivo em R³: superfície de Boy, Cross-Cap, superfície Romana de Steiner, vale 2π. A representação poliédrica dos pontos cuspídeos, considerados como pontos de curvatura concentrada, permite calcular essa curvatura de maneira muito simples. Cross-Cap, superfície Romana de Steiner, superfície de Boy apresentam-se como "os múltiplos rostos" de um único objeto: o plano projetivo. Como isso não é evidente à primeira vista, constrói-se transformações geométricas que permitem passar de uma para a outra. Parte-se da Cross-Cap e transforma-se em superfície Romana de Steiner criando dois pontos cuspídeos adicionais (ou seja, aplica-se, nesse sentido, a modificação genérica "criação-decréação de pontos cuspídeos"), depois transforma-se a superfície de Steiner em superfície de Boy por confluentes de pares de pontos cuspídeos. Ainda que de forma acessória, usando o fato de que o imersão padrão da esfera pode ser transformada em sua imersão antipodal (virada da esfera), demonstra-se que os dois pontos cuspídeos de uma Cross-Cap podem ser trocados por uma sucessão de imersões, a transformação ilustrando o fato de que esses dois pontos são equivalentes.
PRÉ-AMBULO:
O leitor encontrará aqui elementos gerais que também se encontram na introdução de FÍSICA GEOMÉTRICA A (definição de posicones, negacones, etc). Se desejar pular esta passagem, basta clicar aqui.
Se traçarmos em um plano um triângulo composto por segmentos retos, a soma dos ângulos nos vértices vale π. Esses segmentos do plano podem ser obtidos de outra forma: colando sobre a superfície tiras de uma fita adesiva qualquer, sem fazer dobras. Chamamos então esses trajetos do plano de geodésicas. Podemos traçar curvas geodésicas em qualquer superfície por esse procedimento, por exemplo na asa de um automóvel ou no capô.
Figura 1: Um triângulo considerado como um conjunto de três geodésicas do plano
POSICONES E NEGACONES
Façamos um corte em um plano e colamos os dois bordos, depois traçamos um triângulo com nossa fita de fita adesiva, composto por três geodésicas desse cone.
Figura 2: Construção de um posicone.
Ao separar as duas bordas da superfície, segundo o corte anteriormente feito (figura 3), perceberemos facilmente, usando um transferidor, que a soma dos ângulos A, B e C é igual a π mais o ângulo do corte α. Esse desvio em relação à soma euclidiana chamaremos de curvatura e diremos que o triângulo "contém" uma certa quantidade de curvatura angular α. Esse desvio será o mesmo, qualquer que seja o triângulo, desde que contenha o vértice do cone. Se não o contiver, a soma será π. Diremos que a curvatura está concentrada no vértice M do cone, que então é um "ponto de curvatura concentrada". Como a soma dos ângulos é maior que a soma euclidiana, diremos que essa curvatura é positiva. Assim, um plano seria, nessa ótica, uma superfície de curvatura nula.
Figura 3: O posicone achatado.
Essa curvatura é aditiva. Se colarmos juntos vários desses cones correspondentes a ângulos α, β, γ, poderemos traçar todos os tipos de triângulos compostos por arcos geodésicos. Se o triângulo contiver três pontos correspondentes a curvaturas concentradas iguais a α, β, γ, então a soma de seus ângulos nos vértices será: π + α + β + γ.
Pode-se considerar uma superfície de curvatura positiva como uma esfera como um conjunto de infinitos "posicones". Em vez de ter curvatura concentrada em pontos diferentes, teremos curvatura distribuída uniformemente sobre toda a superfície. Diremos que a esfera é uma superfície de "curvatura constante" (ou de "densidade de curvatura angular constante").
Fig. 4: Um triângulo composto por três arcos geodésicos.
Na esfera, as geodésicas são "círculos máximos". O equador e os meridianos são círculos máximos, são arcos geodésicos da esfera. Mas você não conseguirá criar um paralelo com uma fita adesiva. Os paralelos não são geodésicas da esfera. A soma dos ângulos nos vértices de um triângulo traçado sobre uma esfera depende da razão entre a área do triângulo e a área da esfera. A soma dos ângulos de um triângulo muito pequeno será muito próxima de π.
Um triângulo cuja área for um oitavo da área da esfera terá uma soma A + B + C = 2π.
Um círculo máximo da esfera pode ser considerado como um "triângulo", desde que coloquemos os três vértices... em qualquer lugar sobre esse círculo. A soma A + B + C valerá 3π. Ele contém metade da área da esfera.
Qual é o desvio máximo? Não podemos dizer "aumente o triângulo indo além desse círculo máximo", pois além disso o comprimento dos arcos geodésicos que formam seus lados diminuirá e até tenderá a zero.
Quando envolvemos toda a superfície da esfera, obtemos A + B + C = 5π = π + 4π.
Diremos que a curvatura total da esfera vale 4π.
Fig. 5: Soma dos ângulos. Triângulo composto por arcos geodésicos da esfera.
A quantidade de curvatura contida em um triângulo corresponde a uma simples regra de três:
Vamos agora criar um "negacône", inserindo agora um setor angular α em um plano, como indicado na figura 6.
Fig. 6: Um "negacône"
Quando se remove o setor angular, obtém-se isto:
Fig. 7: O negacône achatado.
A soma dos ângulos do triângulo vale A + B + C = π - α.
Diremos que esta superfície é um negacône possuindo um ponto de curvatura concentrada, negativa. Essa curvatura também é aditiva. Ao compor uma superfície com uma justaposição de mini posicones e mini negacoins, pode-se criar uma superfície onde o valor local da curvatura seja qualquer.
A figura 7 é uma superfície de curvatura negativa distribuída. Diz-se também que esta superfície possui, em todo ponto, uma densidade de curvatura (angular). O desvio (negativo) em relação ao valor euclidiano da soma dos ângulos dependerá aqui também da área do triângulo. Quanto menor essa área, mais próxima a soma estará de π.
Fig. 7: Superfície de densidade de curvatura (angular) negativa.
A figura 8 mostra um exemplo de justaposição de três regiões, com densidade de curvatura positiva, negativa e nula.
Fig. 8: Superfície de densidade de curvatura variável. Nula na parte plana, positiva na calota esférica, negativa no encontro (cinza).
Se traçarmos geodésicas, obtemos isto:
Fig. 9: Projeção plana, mais geodésicas.
No exemplo escolhido, a quantidade de curvatura contida na calota esférica é igual e oposta à do encontro (supondo que o plano tangente varie continuamente). Testemunha a figura 10, a seguir:
Fig. 10: Os triângulos geodésicos, traçados na parte plana, integram toda a curvatura que contêm. Como a soma dos três ângulos vale π, estão inscritos em uma superfície euclidiana (plano). Consequentemente, as "curvaturas integradas" contidas na calota esférica e no encontro cinza são iguais e opostas.
Algumas superfícies, como o cilindro, parecem possuir certa curvatura. Mas se traçarmos sobre ele um triângulo usando arcos geodésicos e depois aplanarmos o cilindro (como os posicones e os negacoins, o cilindro é "desenvolvível"), perceberemos que a soma vale 180°. O cilindro, nessa definição de curvatura, é "plano".
Fig. 11: Um cilindro sobre o qual traçamos um triângulo geodésico e seu desenvolvimento plano.
Um dobra não introduz nenhum efeito de curvatura, e você também pode verificar isso com sua fita adesiva.
Fig. 12: Uma geodésica atravessando uma dobra. A dobra não altera seu desenvolvimento plano:
Não contém nenhuma curvatura.
POSICOINS E NEGACOINS.
Os "coins" são pontos de concentração de curvatura. As arestas não contêm curvatura. As figuras 6 e 7 mostram como criar um posicoin correspondente a uma curvatura concentrada igual a +π/2 e um negacoin com curvatura concentrada igual a -π/2.
Fig. 13: Criação de um posicoin de +π/2
Fig. 14: Criação de um posicoin de +π/4
Fig. 15: Criação de um negacoin de -π/2.
Com oito posicoins pode-se criar um cubo, que é uma das representações poliédricas da esfera.
Fig. 15: O cubo, representação poliédrica da esfera.
Recuperamos a curvatura total da esfera: 4π.
Com oito posicoins e oito negacoins pode-se criar uma representação poliédrica do toro e recuperar sua curvatura total: zero.
Fig. 16: Representação poliédrica do toro.
PONTOS CUSPIDAIS
A Cross-Cap é um dos múltiplos rostos impressos pelo plano projetivo em R³. Não pode ser imerso nele. A Cross-Cap possui um conjunto de auto-interseção que se apresenta sob a forma de um segmento de reta, cujas extremidades correspondem ao que chamamos de pontos cuspídeos.
As figuras 17, 18 e 19 mostram como formar um ponto cuspídeo em regiões de curvatura positiva, negativa ou nula.
Fig. 17: Constituição de um ponto cuspídeo em uma região de curvatura positiva.
Fig. 18: Constituição de um ponto cuspídeo em uma região de curvatura negativa.
Fig. 19: Constituição de um ponto cuspídeo em uma região de curvatura nula (cilindro).
A figura 20 dá uma representação poliédrica do ponto cuspídeo, que usaremos posteriormente.
Figura 20: Representação poliédrica de um ponto cuspídeo.
A CROSS-CAP
As figuras 21a e 22b são duas representações poliédricas da Cross-Cap, fáceis de compreender.
Figura 21a e 21b: Representações poliédricas da Cross-Cap.
Sabe-se que a curvatura total da Cross-Cap é igual a 2π. Como recuperá-la a partir de uma representação poliédrica?
A figura 22 permite calcular a curvatura concentrada em um ponto cuspídeo como apresentado na figura 20.
Fig. 22: Curvatura concentrada em um ponto cuspídeo.
O trajeto mostrado possui seis ângulos retos. As dobras 2, 5, 7 e 10 ocorrem sobre arestas e não contêm curvatura. O trajeto 1-2-3 ocorre segundo uma geodésica da superfície. A curvatura concentrada neste ponto cuspídeo particular, onde as folhas se cruzam em ângulos retos, é igual a -π. Se agora nos referirmos à figura 21a e somarmos as curvaturas, encontramos -2π. De fato, há:
Doze posicoins +π/2
Quatro negacoins -π/2
Dois pontos cuspídeos -π
Total: 2π
As figuras 21a e 21b mostram a identidade dos dois pontos cuspídeos C1 e C2.
Fig. 23: Montagem de duas Cross-Caps poliédricas.
Figura 24: Montagem final.
Depois de tudo isso, estamos em condições de compreender bem a estrutura geométrica de uma Cross-Cap.
Figura 25: A Cross-Cap e a montagem de seus dois pontos cuspídeos. O ponto cuspídeo C1 foi criado em uma região de curvatura local (ou densidade de curvatura angular) positiva (ver figura 16), o C2 em uma de curvatura local negativa (ver figura 17).
A mesma, sem esses detalhes:
Figura 14: A Cross-Cap e seus dois pontos cuspídeos.
PERMUTAÇÃO DOS PONTOS CUSPIDAIS DE UMA CROSS-CAP.
Existe uma simetria entre esses dois pontos, que não é evidente à primeira vista.
A parte:
Para a pequena história, coloquei-me esse problema após participar de um colóquio sobre a psicanálise lacaniana, em Aix-en-Provence, por convite do comitê organizador. Pergunta-se o que faz a psicanálise lacaniana em uma apresentação de geometria. Lacan, hoje falecido, enunciou em seu tempo teorias bastante inacessíveis sobre a estrutura de nossa mente, que ele organizaria segundo um "objeto pequeno a", verdadeiro "centro organizador da linguagem". Para Lacan, tudo é linguagem (daí sua frase célebre "o ato sexual não existe"). Agora que está morto, suas palavras se diluem um pouco. Mas quando estava vivo, suas conferências na Escola Normal Superior faziam correr o Paris intelectual. As celebridades do cinema gostavam de aparecer lá. Havia disputa para ouvir seus discursos obscurantistas. Uma de suas alunas, Jeanne Granier-Deferre, poderia ser considerada uma de suas fiéis (o lacanismo era quase estruturado como uma seita cujo líder era Lacan, que inclusive adotava o traje, veja alguns documentos de TV), publicou um livro intitulado "a topologia segundo Jacques Lacan" (...). Lacan buscou uma superfície unilátera para modelar a estrutura geométrico-linguística de nossa "psique". Por que unilátera? Para representar o que chamava de enantiossemia, o sentido duplo.
A ideia não é tola. Testemunha a frase célebre de Lacan:
Um homem é um homem.
onde os cinco caracteres que compõem a palavra homem não têm o mesmo sentido nas duas partes da frase. À esquerda, a palavra homem refere-se ao macho da espécie humana. À direita: a palavra refere-se a seus atributos culturais (virilidade, comportamento, etc). Segundo Lacan, nossa linguagem usa constantemente o sentido duplo, em uma dualidade significante-significado, o que não é idiota também. Poderíamos nos alongar sobre as ideias do falecido Jacques, mas isso nos levaria muito longe. Dedico um dossier a isso, que provavelmente chamarei de "JPP com Jacques Lacan", cheio de anedotas saborosas. De fato, Lacan manifestou-se imediatamente quando apareceu em 1979 nosso artigo sobre a virada da esfera, na edição de janeiro da Pour la Science. Ele ligou primeiro para o cego Morin, coautor, que era alérgico à psicanálise (e a muitas outras coisas, aliás), e o mandou para o inferno. Por curiosidade, fui à rue de Lille, em Paris, a casa de Lacan, ou seja, o santuário da seita. O relato dessas entrevistas estará no futuro dossier.
Que Lacan tenha se voltado para a unilátera para modelar a linguagem, bom. Por exemplo, se você pegar a palavra MOT e considerar sua imagem em espelho, sua imagem enantiomorfa, isso dá TOM, o que não tem nada a ver. Mas as coisas se complicam com "esse objeto pequeno a" (segundo Lacan um "fálico linguístico"). Todo o discurso do homem seria organizado em torno dele. Daí uma outra frase célebre de Lacan:
O homem não é um indivíduo falante, mas um indivíduo falado.
Segundo Lacan, o homem seria apenas uma máquina para secretar linguagem, inclusive quando faz amor, mesmo em silêncio (um silêncio evidentemente inteiramente tecido de não-ditos: para Lacan, o silêncio também não existe...). Em resumo, o homem não faria nada além de circular sobre uma "superfície linguística unilátera", entre significantes e significados, dito e não-dito. No centro desse objeto geométrico-linguístico, o objeto a, ponto do possível pensar, mas do impossível descrever: Deus, ou "o pai", talvez, quem sabe. Confesso que nunca entendi muito bem. Mas após a morte de Lacan, os psicanalistas lacanianos, visivelmente desorientados com a ausência de seu guru, realizaram um colóquio em abril de 1978 em Aix, e me convidaram como "especialista-geômetra". Antes disso, me passaram o livro da senhora Granier-Deferre, esse "Topologia segundo Jacques Lacan". Lacan havia escolhido o ponto cuspídeo central da Cross-Cap (a única superfície unilátera que sabia manipular) para situar seu "objeto pequeno a", para plantar seu "fálico linguístico". Imediatamente imaginei uma transformação que permitisse "pater-mutar" os dois pontos cuspídeos. Foi um dos temas da minha apresentação, que deixou a seita completamente desorientada (dado o estado em que esses 400 participantes se encontravam, em termos psicanalíticos, eu só agravava as coisas). Essa Cross-Cap, rebatizada por Lacan de "fantasma fundamental", passou a ter dois fálicos linguísticos em vez de um só. Tentei então salvar a situação tirando uma superfície de Boy, também unilátera, de uma caixa de papelão, e propondo a esses lacanianos plantarem seu "fálico linguístico" em seu único polo. Detalhes e continuação desse caso no futuro dossier "JPP com Lacan".
Ao fechar esta pausa, descreveremos essa transformação que invent