Voltemos à essa classe de homotopias das imersões do toro em R³. Pode-se facilmente ligar os dois objetos mostrados por meio de uma transformação "C". Tomamos um toro e o "auto-travessamos" em algum lugar, criando uma linha de pontos duplos que é um círculo:
Coloquei "duas cores": cinza para o exterior do toro, branco para o interior. O auto-travessamento acima (que leva a uma das infinitas imersões possíveis do "toro padrão") faz então aparecer uma parte branca da superfície.
Observemos esse objeto a partir de um ponto situado sobre o eixo do toro:
Em cima, a porção de dentro (branca) do toro, que o auto-travessamento fez aparecer. Podemos então aplicar uma "transformação C" e criar dois pontos cuspídeos.
No ponto indicado pela seta, "estrangulamos" uma passagem. A operação cria dois pontos cuspídeos C1 e C2:
que podemos fazer migrar como a seguir:
Resta apenas realizar uma transformação C
-1
(confluência de dois pontos cuspídeos):
Obtemos o objeto:
Essa imersão do toro é homotópica ao toro padrão.
Vemos que essa operação "C" e sua inversa "C
-1
", que ampliam o universo das imersões ao das cisalhamentos de superfícies em R³, permite fazer coisas interessantes. Pode-se construir o conjunto de todos os cisalhamentos das superfícies clássicas (esfera, plano projetivo, toro e garrafa de Klein). Quantas classes possui esse conjunto?
Vimos que a esfera e o plano projetivo pertencem à mesma classe (assim como a superfície de Boy direita e a superfície de Boy esquerda). Quantas classes de cisalhamento existem para o toro? Acredito, salvo engano, que esse problema ainda não está resolvido. É possível, por meio de operações C, passar de uma classe de imersão do toro para outra, ou não? Intuitivamente, tendo a responder que não, mas trata-se apenas de uma
conjectura.
Uma construção não pode demonstrar uma impossibilidade, mas apenas ilustrar uma possibilidade. Se alguém encontrar construções que permitam saltar de uma classe para outra, o teorema estará de fato demonstrado, mas o fato de não se encontrar tais construções não constitui por si só uma demonstração. A ausência de prova não é prova de ausência. Dizer que existem quatro classes de cisalhamento do toro em R³, ou dizer que existe apenas uma, são
conjecturas
, crenças simples, no estado atual.
Dá-se que Smale demonstrou que o virar da esfera era algo possível antes que Phillips apresentasse a primeira construção. Poderia ter sido o inverso. Mas quem teria tido a ideia de empreender uma tarefa desse tipo, totalmente contra nossa intuição geométrica?
A transformação C permite transformar uma esfera em um Cross cap, depois em uma superfície de Boy, passando pela superfície romana de Steiner. Ver artigo. Ela permite transformar um toro em uma garrafa de Klein? Logicamente sim, mas não tenho a resposta pronta para essa pergunta.
En passant, por que falar de "plano projetivo"? Os objetos (unilaterais) mostrados são finitos. Resposta de Souriau:
- Em um plano temos "a reta do infinito". Basta colar esse plano ao longo da reta do infinito.
A qual, como é óbvio, é uma curva fechada.
No Topologicon encontra-se um pequeno desenho animado, um "feuilletable", que mostra como uma fita de Möbius com três meias-voltas pode se transformar em uma superfície de Boy. A última imagem mostra essa superfície, menos um disco. Basta acrescentar esse disco para completar a superfície. Uma superfície de Boy é, portanto, uma fita de Möbius mais um disco. Exercício: usando as ferramentas do Topologicon, calcule então sua característica de Euler-Poincaré (que vale 1).
Inversamente, poderíamos partir do disco e fazê-lo crescer, se auto-travessando, até se colar sobre essa fita de Möbius com três meias-voltas, o que é outra construção.
Encontrei os desenhos na comunicação de 55 páginas que apresentei no colóquio lacaniano de psicanálise em Aix-en-Provence (4 e 5 de abril de 1987), dedicado à "Perversão", e que consta das atas editadas por seus organizadores. Usarei esse texto em um futuro documento intitulado "JPP chez Lacan".
Primeira imagem: o disco em processo de contorção.
A seguir, início da criação do conjunto de auto-interseção:
Figura seguinte: aparecimento do ponto triplo:
Deixo de aplicar sombreamentos, pois a superfície está prestes a se tornar unilatérica.
A seguir, a superfície está pronta para se colar sobre si mesma, ao longo de sua borda.
Aqui, foi representada a fita de Möbius com três meias-voltas, completando a superfície:
Figura seguinte: a mesma fita.
Depois, a superfície de Boy, totalmente formada. Não se pode dizer, em relação às imagens apresentadas no Topologicon, "que a vemos por baixo", pois uma superfície de Boy não tem nem cabeça nem cauda. Digamos que, tal como se apresenta, vemos seu ponto triplo.
A seguir, seu conjunto de auto-interseção:
Vocês viram, com os próprios olhos, o plano se dobrar sobre sua "reta do infinito". Daí seu nome: "plano projetivo", bastante estranho à primeira vista. Talvez seja a primeira vez que se mostra ao povo o infinito tão de perto.
Essas imagens foram compostas há cerca de vinte anos e este site ou este CD oferecem finalmente uma possibilidade de mostrá-las. O leitor pode se perguntar por que elas não apareceram em "Pour la Science" ou "La Recherche". Não foi por falta de enviar artigos a essas revistas, mas as redações não acharam o tema interessante.
Espero que com esta "caixa de ferramentas geométricas" vocês se apressem em inventar inúmeras superfícies novas. Eis uma, imaginada pela Sra. Ivars. Pegue uma esfera e enfie, em duas direções diametralmente opostas, dois segmentos de mesmo comprimento, até o contato, imaginando que esses segmentos estejam soldados em duas hastes, assim:
Quando os segmentos chegam ao contato, uma "cirurgia" ocorre. Temos uma interseção de folhas ao longo do segmento, e dois pontos cônicos em cada extremidade. A seguir, essa superfície, em corte.
A mesma, em perspectiva:
No raio de ferramentas para fabricar superfícies, um "elemento de encanamento":
Quando fazemos penetrar um fluido por um orifício, servindo de entrada, ele sai circulando pelo
exterior
do tubo de saída. Mas podemos usar a saída como entrada. O efeito é o mesmo. O objeto é uma espécie de operador geométrico que transforma o exterior em interior.
Ao fechar esse "acoplamento" sobre si mesmo, obtém-se uma garrafa de Klein:
Mas eis outro montagem:
O mesmo, em perspectiva:
A superfície é então bilateral. Qual é?
Por meio de uma homotopia regular, uma sequência contínua de imersões, transforma-se em isto:
Reconheceram uma caixa com alça, mas que só pode ser aberta de dentro. Pode-se então transformar o objeto. Basta passar uma corda pelo buraco e puxar para si:
O resultado é:
É um toro.
Agora, é com vocês, para se virarem com o montagem a seguir:
feita com três desses "acoplamentos".
Veremos, em outro artigo, a utilidade desses "acoplamentos" no caso do virar da esfera.