Problemas de geodésicas.
Você sabe traçar geodésicas sobre uma superfície usando fita adesiva. Pergunta: em quais condições uma geodésica traçada sobre um cone pode se cruzar consigo mesma?
Tomemos um ponto de um cone de revolução e façamos uma geodésica partir desse ponto em uma direção perpendicular a uma de suas geratrizes:
Consideremos a geratriz simétrica em relação ao eixo de revolução desse cone (qualquer cone pode sempre ser deformado em um cone de revolução sem alterar o traçado de suas geodésicas). No caso do desenho acima, obteríamos isto ao colocarmos nosso cone plano:
Sabe-se que o ângulo de corte representa então a quantidade de curvatura angular concentrada no vértice do cone. A geodésica se transforma então em uma reta no plano, já que a superfície é desenvolvível.
Vê-se que para que uma geodésica possa se cruzar consigo mesma é necessário que o ângulo de corte seja maior que 180°, ou seja, que o cone seja suficientemente pontiagudo.
Ao reconstruir nosso cone, obteremos:
Uma geodésica de um cone pode "atingir o vértice"?
Apenas as geratrizes do cone podem fazê-lo. Qualquer que seja a geodésica traçada sobre um cone, por mais próxima que esteja do vértice, ela só poderá se afastar dele, mesmo que pareça "traçada de maneira a se aproximar". Basta ligar o vértice do cone ao ponto mais próximo dessa geodésica. A geratriz então interceptará a geodésica em ângulo reto. Poderemos fazer um corte ao longo da geodésica oposta e colocar o cone plano.
Por mais pontiagudo que seja nosso cone, obteremos apenas cruzamentos sucessivos.
As geodésicas podem se cruzar indefinidamente? Ao desenvolver o cone, tudo acontece como se a geodésica "rebatesse" na geratriz que liga o vértice ao ponto de encontro.
Acima, é evidente que o "rebote" envia as duas partes da geratriz em direções tais que elas nunca mais poderão se cruzar. Para haver vários cruzamentos, é necessário um cone muito pontiagudo.
Mas a cada "rebote", o ângulo se abre e acaba ficando preso no setor 2π - q. O número de cruzamentos é finito.
As geratrizes do cone constituem uma família bastante especial. Mas o que chamamos de cone?
Podemos considerar que o objeto "cone" corresponde à figura à esquerda abaixo. As geodésicas-geratrizes são então semi-retas.
Mas podemos considerar que um cone corresponde ao objeto à direita. Nesse caso, o que chamamos de geodésica? Se for o caminho mais curto ligando dois pontos, poderíamos obter situações como esta:
Podemos optar por uma estrutura cônica onde cada geratriz se prolonga ao longo de uma segunda geratriz situada no segundo semicone e apenas uma, formando um conjunto contínuo. Podemos conceber pontos cônicos em um espaço tridimensional (ver artigo 11 de Geometrical Physics A).
Outros tipos de singularidades.
Os pontos cuspídeos são pontos singulares. Podemos identificar outros. Por exemplo, os "pontos cônicos", onde os pontos de rebatimento da superfície, "pontos de espeto".
À esquerda, uma esfera com um ponto cônico. À direita, um ponto de espeto.
Criamos um ponto cônico com um ponteiro. Poderíamos então chamar a modificação "criação de ponto cônico" P e sua inversa P⁻¹.
Da mesma forma, a criação de um ponto de espeto corresponderia à modificação H. Na verdade, a criação do espeto segue a do ponto cônico. É um ponto cônico cujo ângulo no vértice tornou-se nulo. Assim, a modificação que leva ao espeto local de uma superfície seria PH e sua inversa: H⁻¹P⁻¹.
Existem outras formas de modificar uma superfície, por exemplo criando um diedro. A criação de diedro será a modificação D. Essa pode ser implementada independentemente de qualquer outra, desde que envolva um trajeto fechado (em uma superfície regular). O exemplo mais simples é a esfera. Podemos criar um "dobro" ao longo do seu equador, por exemplo. No caminho, esse dobro conterá "curvatura linear", tema já tratado na introdução de Geometrical Physics A.
Se, em uma superfície regular, essa modificação envolver um segmento, as extremidades desse segmento sofrerão cada uma uma modificação P.
Tomemos uma esfera, uma esfera "mole", deformável. Coloquemo-nos dentro com um segmento, uma régua rígida, e enfiamos a esfera com ela. As duas extremidades da régua começam a entrar em contato com a superfície. Efeito "ponteiro": surgem pequenos pontos cônicos. Continuamos empurrando. O segmento entra em contato com a esfera, mas o diedro ainda não se forma. Se está em contato com a esfera, isso apenas significa que existe na esfera um trajeto AB retilíneo. Mas isso não implica automaticamente que a esfera tenha um dobro. Podemos comparar isso com a montagem de uma barraca de camping, com dois mastros. Instalamos os mastros
Efeito das duas modificações P. Criação de dois pontos cônicos A e B.
depois esticamos um cabo que os une. Mas se o interior da barraca estiver em depressão, a lona não vai pendurar ao longo do cabo formando um dobro.
Tensão do cabo: a superfície adquire um segmento AB retilíneo. Mas se o vento sopra e a barraca está levemente pressurizada, o entorno do segmento poderá manter, ao longo do segmento, a continuidade do plano tangente, evidenciado pela vista da barraca, segundo um ângulo diferente.
Se o vento parar de soprar, as paredes da barraca vão se desmoronar sob o peso próprio. Assim que o movimento começa, a continuidade do plano tangente é quebrada. O diedro aparece. Modificação D.
A que isso pode servir?
Antes de passar para aplicações práticas, precisamos definir outra modificação. Imagine um cone: ele tem um ponto cônico que concentra a "curvatura angular". Se o ponto cônico não faz parte de um "verdadeiro" cone, cujo flanco não possui curvatura, a superfície é assimilável a um cone, em pequena distância do ponto cônico. Isso equivale a dizer que em um ponto cônico de uma superfície existe um "cone tangente".
Mas voltemos ao nosso cone. Podemos facilmente fazer dois pontos cônicos se aproximarem. Podemos até construir fisicamente uma superfície assim, a partir de duas cortes feitas em um plano:
As linhas que partem de A e B são simplesmente "costuras" ou "colagens". Podemos removê-las:
Podemos fazer os pontos cônicos convergirem, caso em que esse "bicône" se transforma em um cone cujo vértice conterá uma quantidade de curvatura angular igual à soma das curvaturas concentradas nos dois pontos cônicos que convergimos.
q₁ + q₂
Podemos então considerar uma nova modificação "confluência de pontos cônicos":
ConfP
Com sua inversa:
(ConfP)⁻¹
Agora, pegue uma esfera e enfie nela oito segmentos. Isso criará oito diedros e dezesseis pontos cônicos. Podemos então fazer os pontos cônicos convergirem dois a dois e obter... um cubo.
Sabemos agora transformar uma esfera em cubo, e vice-versa. Da mesma forma, isso nos ajudará a construir representações poliédricas de superfícies. Dito isso, "inflamos" nosso cubo, como a lona da barraca antes:
As arestas desapareceram. Obtemos um resultado ao qual teríamos chegado ao enfim oito "pique...