novo cimento cosmologia universo gêmeo
Prévia ao artigo publicado em 1994 na revista Nuovo Cimento
...O ponto de partida deste trabalho data de 1977. Duas notas nos Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris:
J.P. Petit: "Univers énantiomorphes à flèches du temps opposés", CRAS de 8 de maio de 1977, t.285, pp. 1217-1221
J.P. Petit: "Univers en interaction avec leur image dans le miroir du temps", CRAS de 6 de junho de 1977, t. 284, série A, pp. 1413-1416
...No artigo que se segue, tentamos estabelecer uma correspondência ponto a ponto (aplicação involutiva) entre os pontos do entorno da Terra (em escala cosmológica) e os pontos conjugados do segundo universo (que chamamos de universo gêmeo: twin universe, ou universo-sombra: shadow universe, ou universo-fantasma: ghost universe, denominação que consideramos equivalente em nosso espírito), utilizando uma relação de antipodalidade, que implicava uma hipótese inicial sobre a topologia do objeto geométrico. Posteriormente, percebemos que isso não era necessário, pois era possível definir a estrutura local (F,F*) como um revestimento de duas folhas de uma "variedade esquelética". A estrutura torna-se então a de um revestimento de duas folhas de um projetivo P3, equivalente a três dimensões do projetivo P2, de duas dimensões, mais conhecido, portanto a representação mais conhecida é a superfície descoberta em 1902 pelo austríaco Werner Boy, veja a figura 184 (em princípio uma animação, quando o site estiver completo).
...Boy era aluno do grande matemático Hilbert, que se declarou muito satisfeito com a invenção de seu aluno. Para a pequena história, após sua invenção, Boy deixou a universidade e nunca mais se soube de sua existência. Todas as pesquisas realizadas pelos historiadores para localizá-lo foram infrutíferas. Não se sabe se morreu de uma gripe ruim ou se terminou seus dias como encanador.
...Os geômetras sabem que é possível fazer coincidir todos os pontos de uma esfera S2 segundo um projetivo P2, como mencionado na figura 10 do artigo a seguir. O polo norte é assim levado à coincidência com o polo sul e o equador enrola-se sobre si mesmo segundo o pseudo-equador da superfície de Boy, também indicado. Esse revestimento de duas folhas está indicado na figura 11 do artigo. Observa-se, pelo menos em duas dimensões, que essa operação faz coincidir objetos énantiomorfos, em espelho. As figuras 12 e 13 são imagens didáticas que mostram então como os aglomerados viriam a se posicionar nas lacunas da região antipodal.
...Esse sistema de revestimento de duas folhas pode ser estendido a três e até quatro dimensões, com esferas S3 e S4, revestindo respectivamente os projetivos P3 e P4.
Antes de prosseguir, podemos familiarizar o leitor com a geometria dessa estranha superfície de Boy. O leitor também poderá encontrar diferentes variações do objeto no Topologicon (Ed. Belin, 1984).
...O que pode surpreender o leitor é o fato de que essa superfície se intersecta a si mesma segundo um conjunto de auto-interseção que é uma curva trifoliada, lembrando uma hélice de navio:
...Neste desenho, à esquerda, foi criada uma abertura para mostrar o ponto triplo, onde se cruzam três folhas. Essa superfície parece bastante especial. Na verdade, este objeto é um excelente exemplo que permite ilustrar o conceito de espaço de representação (3D) mencionado anteriormente.
...O ponto triplo T e a curva de auto-interseção devem-se apenas ao modo de representação do projetivo P2 em R3. Uma esfera, um toro, podem ser imersos em R3, ou seja, admitir representações topologicamente equivalentes onde a superfície não se intersecta a si mesma. Mas é impossível imersar o projetivo P2 em R3. Só se pode imerso-lo. Assim, o desenho acima (a superfície de Boy) é uma imersão do projetivo em R3. Uma imersão de um objeto 2D é um modo de representação em R3 onde se encontra uma linha de pontos duplos (a curva de auto-interseção), ao longo da qual há dois planos tangentes, além de um certo número de pontos triplos onde três folhas se cruzam. A superfície de Boy é apenas uma entre infinitas maneiras de imersar o projetivo P2 em R3. Outras serão encontradas em um artigo, que será incluído no site, intitulado "os diferentes rostos do plano projetivo".
...É bastante fácil obter imagens da superfície de Boy através de uma representação paramétrica que inventamos e publicamos.
---> O leitor encontrará no sub-site MATEMÁTICAS, entre outros, a reprodução da nota publicada em 1981 na Academia de Ciências de Paris, com J. Souriau (não, não é o famoso matemático, mas um de seus filhos, Jérôme, que mais tarde se tornou informático), cuja referência é:
"A representação analítica da superfície de Boy", Nota nos Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, tomo 293 (5 de outubro de 1981), série 1, pp. 269-272
Mostra-se que a superfície possui meridianos elípticos. Essa propriedade permite traçá-la facilmente. A seguir, o programa constante da capa da minha banda desenhada, o Topologicon. * *
Programa BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM AQUI ESTÃO AS 3 COORDENADAS
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM INSTRUÇÃO PARA EXIBIR OS PONTOS
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
...Para registro, foi essa descoberta da possibilidade de representar essa superfície por meio de meridianos elípticos que permitiu posteriormente ao matemático Apéry obter a primeira representação sob forma implícita, de sexto grau:
f (x , y ,z) = 0
que não reproduziremos (é, aliás, bastante complicada e estamos convencidos de que devem existir formas mais simples, mas isso será objeto de outro documento que será incluído no site MATEMÁTICAS).
...A garrafa de Klein é mais conhecida pelos leitores. Também é impossível imersá-la em R3. Ela aparece, então, em sua forma mais clássica, como uma imersão dotada de um conjunto de interseção que é uma simples curva fechada.
...O revestimento de duas folhas da superfície de Klein é um toro T2, assim como o revestimento da superfície de Boy (projetivo P2) é uma esfera S2. O leitor interessado na superfície de Boy poderá encontrar uma maquete 3D em uma das salas do Palais de la Découverte de Paris, maquete que fizemos confeccionar pelo plástico Max Sauze, a partir de um modelo mais rústico que havíamos criado.
...Nessas operações de revestimento de duas folhas, os meridianos e os paralelos dos objetos "se enrolam sobre si mesmos". Por exemplo, pode-se mostrar o que acontece com os "paralelos" do toro (ligados também ao mergulho representado):
...Nesse mergulho do toro, as curvas paralelas evidentemente não são geodésicas da superfície (exceto o "círculo do gargalo"). Situação análoga ocorre com os meridianos do toro, que são geodésicas de seu mergulho padrão:
A seguir, os dois superpostos:
...Retomaremos todas essas questões em um te...