modelo cosmológico com velocidade da luz variável

modelo cosmológico com velocidade da luz variável **

MODELO COSMOLÓGICO COM VELOCIDADE DA LUZ VARIÁVEL:

INTERPRETAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PARA O VERMELHO.
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Jean-Pierre PETIT.

Observatório de Marselha

Physics Letters A, Vol.3, n° 18, dez. 1988, p.1733

RESUMO:

O modelo com c, G, h variáveis apresentado na referência [1] é estendido ao eletromagnetismo. A entropia é encontrada proporcional a Log t e, numa representação espaço-entropia, a métrica é conformemente plana. Uma nova relação de calibre é proposta, baseada em considerações geométricas, correspondendo a uma constante de Rydberg que varia como R. A lei de Hubble continua aplicável. A idade do universo permanece inalterada, enquanto sua extensão é encontrada igual à metade do valor de Mattig. A decodificação completa do deslocamento para o vermelho torna-se possível. As distâncias das fontes são muito similares. As densidades volumétricas de potência dos quasares distantes podem ter sido grandemente superestimadas, enquanto o aumento de sua magnitude absoluta, tal como deduzido da teoria clássica, poderia dever-se à variação secular de c. Supondo que a razão de massa elétron-próton varie como R, obtém-se uma constante de estrutura fina α, um raio de Bohr e uma razão entre a força eletromagnética e a força gravitacional que se comportam como constantes absolutas.

1 - INTRODUÇÃO

...Vários autores tentaram desenvolver modelos com constantes físicas variando no tempo [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Nenhum questionou a velocidade da luz c, sempre considerada uma constante absoluta. Se se deseja preservar a forma das equações de conservação, a constante de Einstein κ = - 8 π G / c² deve ser considerada uma constante absoluta. Nestas condições, se se deseja manter a velocidade da luz c como uma constante absoluta e uma constante gravitacional G variável, é necessário adicionar um termo fonte à equação de campo, ver referência [3]. Assim, todas essas teorias implicam uma criação constante de matéria.

...Num artigo anterior [1], mostramos que uma velocidade da luz variável podia levar a um modelo coerente se G e a constante de Planck h seguissem relações de calibre convenientes. Assim, a criação constante de matéria não era mais necessária. A extensão da métrica de Robertson-Walker para uma configuração de velocidade da luz variável, e sua introdução na equação de campo, deu um conjunto completo de relações de calibre. Recordemos as principais características do modelo descrito em [1]:

(1)

(2) m (massa das partículas) ∝ R

(3) h (constante de Planck) ∝ R³/² ∝ t

(4) G (constante gravitacional) ∝ 1/R

(5) R (comprimento característico) ∝ t²/³

(6) V (velocidade de uma partícula livre) ∝ R⁻¹/² ∝ c

(7) ρ (densidade de massa) ∝ 1/R²

(8) mc² = constante

O que segue é uma breve digressão sobre a entropia.

2. TEMPO OU ENTROPIA?

A formulação relativista da função de distribuição de velocidade é:

(9)

onde m é a massa de repouso, T a temperatura, n a densidade numérica e K₂ uma função de Bessel. Se β = (<v²>¹/²/c) << 1, obtemos a função de distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann: (10)

Calculemos a entropia por bárion, definida por: (11)

onde k é a constante de Boltzmann. Temos n ∝ R⁻³, m ∝ R e R ∝ t²/³, T = constante (ver referência [1]), tal que: (12)

Então: (13) s = k Log t + H(β)

No modelo, β é invariante de calibre, portanto s ∝ Log t.

...Na cosmologia clássica, o universo é isentrópico. Poderia parecer um tanto paradoxal que uma mudança tão enorme no tempo fosse acompanhada por uma variação de entropia quase nula. No novo modelo, a entropia cresce com o tempo. Note-se que a singularidade do BIG BANG corresponde a s = - ∞.

Definamos agora a entropia por: (14) s = 3/2 k Log t

Retornemos à métrica de Robertson-Walker (15)

Obtemos: (16)

...Na representação {entropia, variáveis espaciais}, a métrica é conformemente plana. Do ponto de vista cosmológico, a entropia (que, por outro lado, é invariante sob transformação de Lorentz) poderia ser uma escolha melhor do que o tempo. ...Além disso, se descrevermos o universo num espaço de fases (posição mais velocidade), encontramos que o hipervolume característico R³c³ varia como t.

3. O DESLOCAMENTO PARA O VERMELHO E A MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER:

...Consideremos um objeto radiante, digamos uma nebulosa N₁, que pode ser considerada como uma partícula. Suponhamos que sua luz seja observada numa nebulosa N₂ colocada na origem das coordenadas comóveis. A nebulosa N₁ é caracterizada pelo valor de seu marcador de distância independente do tempo z, definido pela relação:

(17)

A luz emitida no instante t₁ é observada em N₂ num instante t₂ com t₂ > t₁.

A distância entre N₁ e N₂ é R(t) dz e depende do tempo, mas dz não depende do tempo. A luz propaga-se sobre uma geodésica nula: (18)

ds² = (dx⁰)² - R² dz² = 0

Consideremos a luz emitida por N₁ num valor correspondente x⁰₁ + Δx⁰₁ do parâmetro cronológico. Ela será recebida em x⁰₂ + Δx⁰₂, onde será determinada pela relação: (19)

...Consideremos Δx⁰₁ como o equivalente do período de algum fenômeno físico, a emissão de radiação por exemplo, ocorrendo em N₁, e Δx⁰ sendo curto em comparação com o equivalente do tempo de viagem de N₁ a N₂ (em termos do parâmetro cronológico x⁰). O fenômeno periódico aparecerá, visto de N₂, como tendo um "período" Δx⁰₂, tal que, pela relação acima, o incremento da integral q será nulo. Isto, por um cálculo elementar, dá: (20)

Introduzamos o tempo cosmológico t definido anteriormente por dx⁰ = c dt e notemos R(x⁰₁) = R₁, R(x⁰₂) = R₂, c(x⁰₂) = c₂, c(x⁰₁) = c₁, obtemos:

(21)

4. O PROBLEMA DO ELETROMAGNETISMO:

...Não podemos mais afirmar que a energia Eᵢ(t₁), emitida pelo átomo no instante t₁, seria idêntica à energia de emissão correspondente Eᵢ(t₂) de um átomo similar, no instante t₂, em condições de laboratório. A emissão de luz é um fenômeno eletromagnético. Todos sabem que a descrição clássica do campo, aplicável a um espaço-tempo de quatro dimensões, não leva em conta o fenômeno eletromagnético. Para obter uma descrição completa do universo, a gravitação e o eletromagnetismo deveriam ser integrados num quadro geométrico comum. Infelizmente, isso ainda não foi feito de maneira satisfatória, de modo que nosso trabalho perde um pouco de sua coerência interna. Suponhamos, por exemplo, que a constante de Rydberg (energia de ionização do hidrogênio) obedeça simplesmente à seguinte relação de calibre hipotética: (22)

Eᵢ ∝ Rᵍ

(Note-se que esta é uma hipótese totalmente arbitrária). Examinemos as consequências desta hipótese sobre a decodificação do deslocamento para o vermelho. Mais tarde, tentaremos relacioná-la a possíveis relações de calibre.

5. O FENÔMENO DO DESLOCAMENTO PARA O VERMELHO:

...Na descrição clássica, o deslocamento para o vermelho z é devido ao efeito Doppler, mais um efeito adicional da relatividade restrita. O índice 1 refere-se ao emissor e o índice 2 ao receptor. Para uma dada linha espectroscópica, chamemos E₁ = h₁ν₁₀ a energia de emissão e E₂ = h₂ν₂₀ a energia de emissão correspondente nas condições atuais de laboratório, para a mesma linha. A luz é emitida por um átomo em repouso na frequência ν₁ = ν₁₀, correspondendo ao comprimento de onda λ₁ = c₁/ν₁ = λ₁₀.

ν₂ será a frequência de recepção medida, com λ₂ = c₂/ν₂ e λ₂₀ = c₂/ν₂₀. A energia de qualquer processo radiativo seguirá a lei geral de calibre suposta (22).

Podemos definir o deslocamento para o vermelho z:

• Como a razão entre os comprimentos de onda:

(23)

(24)

(a)

(b)

(c)

obtemos:

(25)

Note-se que, para g = 1, recuperamos o modelo clássico.

• Como a razão entre as frequências:

(26)

obtemos o mesmo resultado.

• Como a razão entre as energias.

(27)

a mesma coisa. A relação clássica sugere a escolha g = 1.

6. A LEI DE HUBBLE E A MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER:

Desenvolvamos a função 1/R(t) em série em relação a

(28)

obtemos:

(29)

Em R'² e R"², o apóstrofo denota a derivação em relação a t. Em particular, na primeira ordem:

(30)

Em seguida, desenvolvamos as seguintes expressões:

(31a)

(b)

(c)

Referindo-nos à primeira ordem:

(32)

Como primeira aproximação, o astrônomo mede d₂ ≈ R₂ z, tal que:

(33)

O que não é nada mais do que a lei do deslocamento para o vermelho de Hubble, que ainda se aplica neste quadro de velocidade da luz variável. A partir da medida de d₂, c₂ e z, podemos deduzir a constante de Hubble, isto é, a idade do universo.

Tome R = 3/2 c t (ver referência [1]).

(34)

A idade do universo corresponde a:

(35)

Um valor g = 1 dá o valor do modelo padrão.

7. O DESLOCAMENTO PARA O VERMELHO E A AVALIAÇÃO DAS DISTÂNCIAS:

Retornemos à métrica de Robertson-Walker, que fornece:

(36)

Na abordagem clássica, tomemos o modelo de Einstein-de Sitter (k = 0). Obtemos:

(37a)

Com R = a t²/³, temos:

(b)

donde

(38)

Se z é pequeno: d₂ ∝ 3/2 c t₂ z

se z tende ao infinito: d₂ tende a 3 c t₂

Claro, a fórmula de Mattig dá o mesmo resultado:

(39a)

(b)

(c)

Retornemos à métrica de Robertson-Walker, segundo nosso modelo, com k = - 1:

(d)

escrevamos:

(e)

(f)

Seja:

(g)

Então:

(h)

Para caminhos radiais:

(i)

(j)

Log ( 1 + z ) = Arg th u

(k)

(l)

Quando z tende ao infinito, recuperamos o horizonte (3/2)c²t₂, que é duas vezes menor que o valor padrão 3 c²t₂.

Note-se que isto é completamente similar à lei que dá vᵣ/c (onde vᵣ é a velocidade radial) em função de z, no modelo padrão.

Comparemos as distâncias, tal como são dadas pelo nosso modelo e pelo modelo padrão.

(40)

São similares para valores pequenos de z.

8. O PROBLEMA DOS QUASARES:

...Os quasares correspondem atualmente a valores de z indo de 0,13 a 4. Os diâmetros dos quasares são estimados a partir de seu período de flutuação T. Obtemos um diâmetro máximo cT. Em relação à abordagem padrão, este modelo dá valores maiores, pois c era maior numa época anterior.

...A potência volumétrica é referida ao tamanho das galáxias. Chamemos P_QSO a potência absoluta emitida por um quasar e P_G a potência absoluta emitida por uma galáxia. A densidade de potência relativa do QSO, em relação a uma galáxia, é:

(41)

...Mas no nosso modelo, as galáxias não são mais constantes em tamanho. Elas crescem com o tempo. Suponhamos que o quasar esteja integrado numa galáxia. O tamanho desta galáxia crescerá como (1 + z). Assim, nosso fator corretivo, em relação aos valores padrão para a densidade de potência, envolverá três efeitos:

• Mudança de distância (elas são um pouco mais próximas).

• Mudança de diâmetro (devido à variação de c).

• Mudança de tamanho da galáxia.

Dado P_QSO e P_G, o coeficiente (57) torna-se p' = p x com:

(42)

isto é:

(43)

...Vemos que esta correção reduz a magnitude absoluta do quasar observado, e que esta correção aumenta com z. Assim, se este modelo fosse bom, o modelo clássico teria grandemente superestimado a densidade volumétrica de potência dos quasares. Além disso, o aumento observado da magnitude absoluta dos quasares poderia dever-se à mudança secular de c.

Clássicamente, a extensão das galáxias está ligada ao comprimento de Jeans, mas o modelo não fornece nenhuma informação disponível sobre os tamanhos de objetos emissores como estrelas ou quasares. Isso depende do processo de emissão de energia. Como não definimos uma possível relação de calibre para os coeficientes de fusão, ainda não temos um modelo disponível. De qualquer forma, os quasares poderiam crescer no tempo, como as galáxias, e as observações tendem a apoiar esta hipótese, que será examinada com mais detalhes no próximo artigo dedicado à interação detalhada do modelo e das observações disponíveis.

9. RELAÇÕES DE CALIBRE ASSOCIADAS.

...A energia de ionização do hidrogênio obedece a: Eᵢ = 1/2 α² mₑc², onde α é a constante de estrutura fina e mₑ a massa do elétron. Supusemos que Eᵢ ∝ Rᵍ com g = 1, para se ajustar ao modelo clássico, ver (25), (33) e (35). Introduzamos a razão de massa elétron-próton δ = mₑ/mₚ. Segundo o primeiro artigo [1], mₚ ∝ mₙ ∝ m ∝ R. Assim, mc² é uma constante absoluta. Então:

(44)

...A constante de estrutura fina α e a razão de massa elétron-próton δ não podem ser mantidas constantes juntas. Consideraremos duas possibilidades;

9.1) Tomemos primeiro δ ∝ constante. Então:

(45)

Introduzindo as relações de calibre para h e c, obtemos: e²/ε₀ ∝ R³/² e a força eletromagnética F_em = e²/4πε₀R² ∝ R⁻¹/². Então:

(46)

o que é similar a uma antiga ideia de Dirac [4, 5].

Calculemos o