cosmologia do universo gêmeo matéria matéria fantasma astrofísica. 2:
Métricas de estado estacionário conjugadas. Soluções exatas. (p2)
3) Soluções exatas internas acopladas do tipo Schwarzschild.
Consideremos o caso em que o dobra F* está vazio e o dobra F contém um objeto massivo de massa M, raio ro, preenchido por uma densidade de massa r constante.
Isso corresponde ao sistema de equações:
(12)
S = c T
(13) *S = - **c T
com T* = 0. Na teoria clássica, deduz-se a solução interna de Schwarzschild, dando ao tensor T a forma:
(14)
A forma da métrica escolhida é:
(15)
ds² = en c² dt² - [ el dr² + r² ( dq² + sin²q dj²) ]
Nos segundos membros das equações diferenciais, provenientes da equação de campo, encontramos termos:
(16)
O segundo corresponde à contribuição da pressão para o campo. Pode ser desprezada para pressões moderadas. No caso de um gás, isso corresponde à aproximação << c, o primeiro sendo a velocidade térmica. Se o corpo é sólido (planeta), isso significa que a contribuição da pressão é pequena, o que não pode ser afirmado se o objeto é uma estrela de nêutrons. Vamos, a seguir, considerar a hipótese física justificada:
(17)
Então a equação diferencial pode ser escrita na forma mais simples:
(18)
(19)
(20)
c sendo a constante de Einstein:
(21)
Primeiro somamos (18) e (19) e obtemos:
(22)
Como c é negativo, isso implica que l' + n' é positivo ou nulo. A partir do sistema (18) + (19) + (20), obtemos:
(23)
(24)
(25)
Escreva:
(26)
Combinando com (23):
(27)
m(r) é um comprimento, análogo ao comprimento de Schwarzschild. Reconhecemos o status de M(r) como massa geométrica.
(24) pode ser resolvido. Escreva:
(28)
ou:
(29)
Introduza:
(30)
obtemos:
(31)
A sendo uma constante. A métrica interna torna-se então:
(32)
Quando r = ro, a métrica externa torna-se:
(33)
ou:
(34)
ou:
(35)
A ligação com a métrica externa é garantida se:
(36)
Nossa solução interna (p » 0) torna-se:
(37)
Observe que realizamos expansões em série segundo:
(38)
nossa métrica interna e a clássica com pressão não nula [7]:
(39)
coincidem assintoticamente.
