cosmologia de universos gêmeos Matéria, matéria fantasma, astrofísica. 2: Métricas conjugadas com estado estacionário. Soluções exatas. (p4)
3)Curvaturas escalares conjugadas.
A partir do sistema de equações de campo geral (1) + (2), obtemos:
(58)
R* = - R
Em dois pontos conjugados M e M*, pertencentes respectivamente aos plissos F e F*, as curvaturas escalares R e R* são opostas. Chamaremos de geometrias conjugadas aquelas que verificam esta propriedade. Podemos tentar ilustrar este conceito com uma imagem pedagógica. Considere a figura 1: em cima, um "posicône" liso; embaixo, um "negacône" liso, face a face. Um posicône liso é construído a partir de um cone truncado, ligado ao longo de um círculo a uma porção de esfera (superfície com densidade constante de curvatura angular).
Fig. 1: Imagem pedagógica das geometrias conjugadas (R = –R). A massa M está no plissos F. O plissos F está vazio.
Ilustrado: um par de pontos conjugados (M, M*).
A sela de cavalo constitui o equivalente, para uma curvatura negativa, de uma porção de esfera (superfície com densidade constante de curvatura angular). Uma esfera contém uma curvatura total igual a 4π. Uma porção de esfera contém uma quantidade de curvatura angular q dada por:
(59)
Um cone é uma superfície que contém um ponto de curvatura angular concentrada S, correspondendo a uma curvatura angular positiva q > 0. O construímos de acordo com a figura 2.
Fig. 2: Construção de um "posicône".
Definição da curvatura angular contida no vértice do cone: Se traçarmos um triângulo formado por três geodésicas, dois casos se apresentam. Se ele não contém o vértice, a soma dos ângulos é a soma euclidiana π. Se ele contém o vértice, esta soma vale π mais a curvatura pontual correspondente q. Ver figura 3.
Fig. 3: Curvatura angular pontual positiva
localizada no vértice de um (posi)cône.
Da mesma forma, podemos construir um "negacône", da seguinte forma:
Fig. 4: Construção de um "negacône" com curvatura angular pontual negativa, localizada em S.
Podemos montar um conjunto de pequenos posicônes, correspondendo a curvaturas elementares dq_i, e colar esses objetos entre si. Ver figura 5.
Fig. 5: Conjunto de posicônes elementares.
A curvatura angular é uma quantidade aditiva. Se o número de elementos tende ao infinito e os dq_i tendem a zero, o objeto global tende a uma superfície regular limitada. Em qualquer porção desta superfície, podemos medir a curvatura angular (a soma dos ângulos dq_i). Também podemos definir uma densidade local de curvatura angular da seguinte forma:
(60)
Assim, este conjunto de posicônes elementares montados tende a uma superfície regular com plano tangente. Se C(M) é constante e positivo em uma superfície, esta é uma esfera ou uma porção de esfera. A integral da densidade de curvatura angular sobre a superfície da esfera fornece sua curvatura total igual a 4π. Se C(M) é nulo, a superfície é localmente plana (plano, parede de um cone, cilindro, por exemplo).
Versão original (inglês)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p4)
3) Conjugated scalar curvatures.
From the general field equations system (1) + (2) we get :
(58)
R* = - R
In two conjugated points M and M*, which belong to the folds F ans F*, the scalar curvatures R and R* are opposite. We will call such geometries conjugated ones. We can try to illustrate this concept through a didactic image. Consider the figure1. Up is a smoothed "posicone", down a "smoothed negacone", face to face. A smoothed posicone is built with a truncated cone, linked along a circle to a portion of sphere (constant curvature density surface).
**Fig. 1 : Didactic image of conjugated geometries ( R * = - R ) The mass M is in the fold F . The fold F is empty.
Shown : a couple of conjufated points (M,M).
The horse saddle is the equivalent of a portion of sphere, for negative curvature (constant angular curvature density surface). A sphere contains a total curvature equal to 4p. A portion on a sphere contains an amount of angular curvature q which is (59)
A cone is a surface with contains an (angular) concentrated curvature point S , corresponding to a positive angular curvature q > 0. We build it according to the figure 2.
Fig. 2 :** Building a "posicone".**
Definition of the angular curvature contained in the summit of the cone : If one draws a triangle with three geodesics, we have two cases. If it does not contain the summit, the sum of the angles is the euclidean sum p. If it contains the summit this sum is p plus the corresponding punctual curvature q . See figure 3 .
**Fig. **3) : Punctual positive angular curvature
located at the summit of a (posi)cone.
Similarly we can build a "negacone", as follows :
. Fig.4 :** Building a "negacone"** with punctual negative curvature, located in S.
We can build a set of small posicones, corresponding to elementary curvature dqi and glue these objects together. See figure 5.
Fig. 5 : set of elementary posicones.
The angular curvature is an additive quantity. If the number of elements tends to infinite and the dqi tend to zero, the global object tends to a bounded regular surface. On any portion of the surface we can measure the angular curvature (the sum of the angles dqi ). We can also define a local angular curvature density as follows :
(60)
Then this set of joined elementary posicones tends to a regular surface, with tangent plan. If C(M) is constant and positive on a surface, its a sphere, or a portion of a sphere. The integrated angular curvature density, over the surface of the sphere, gives its total curvature 4p. If C(M) is zero, the surface is locally flat (plan, wall of a cone, cylinder, for example). .