cosmologia do universo gêmeo matéria matéria fantasma astrofísica. 2: Métricas de estado estacionário conjugadas. Soluções exatas. (p5)
Essa operação pode ser estendida aos negacones unidos (densidade de curvatura angular negativa). Para uma superfície euclidiana, C(M) = 0 em todos os lugares. Usando negacones elementares e pequenas porções de um plano, pode-se construir qualquer superfície regular, onde a densidade de curvatura angular C(M), positiva, negativa ou nula, é uma função contínua do ponto M. Podemos agora construir um posicone truncado e unir a uma porção de esfera. A continuidade do plano tangente é garantida se as curvaturas angulares q forem iguais. Ver figura 6.
Fig .6 : Construção de um "posicone suavizado".
Uma superfície com curvatura angular negativa constante é chamada de sela de cavalo. Ver figura 7. Sobre uma superfície como essa, pode-se traçar uma curva centrada em um ponto P.
Fig. 7 :** Construção de um "négacone suavizado".**
Pode-se colocar um posicone suavizado e um négacone suavizado face a face, como indicado na figura 1. Os pontos conjugados M e M* têm densidades de curvatura opostas :
(61)
C(M*) = - C(M)
Nas partes euclidianas das duas superfícies conjugadas, essas curvaturas são nulas :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
Obtemos um exemplo de geometrias conjugadas em 2d. Evidentemente, assim como em nossos dobras em 4d, a imagem de uma geodésica de uma dobra não é definitivamente uma geodésica da outra. Ver as figuras 8 e 9.
Fig. 8 : A imagem (composta por pontos conjugados) de uma geodésica do posicone suavizado F não é uma geodésica do négacone suavizado F.*
** ** Fig. 9 : A imagem (composta por pontos conjugados) de uma geodésica do négacone suavizado F não é uma geodésica do négacone suavizado F.* ** **
Trata-se simplesmente de uma imagem didática, mas ilustra o conceito fundamental das geometrias conjugadas. Na relatividade geral, tratamos de hipersuperfícies em 4d, cujas métricas possuem geometrias hiperbólicas, com assinaturas (+ - - -).
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Versão original (inglês)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig. 7 :** Building a "smoothed negacone".**
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig. 8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig. 9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
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