cosmologia de universos gêmeos matéria fantasma matéria astrofísica. 2: Métricas de estado estacionário conjugadas. Soluções exatas. (p7)
Conclusão.
** **Estudando um modelo baseado em duas equações de campo acopladas, referentes a uma estrutura dupla, demonstramos que soluções exatas de estado estacionário não homogêneas existem e as construímos. Foi apresentado um modelo didático em 2D para ilustrar o conceito de geometrias conjugadas e geometria induzida. O design geodésico confirma a análise baseada na aproximação newtoniana.
Referências.
[1] Petit J.P.: O efeito da massa faltante. Il Nuovo Cimento B Vol. 109, julho de 1994, pp. 697-710
[2] Petit J.P.: Cosmologia de universos gêmeos. Astrofísica e Ciência do Espaço. Astr. And Sp. Sc. 226: 273-307, 1995
[3] J.P. Petit & P. Midy: Matéria escura repulsiva. Física Geométrica A**,3**, pp. 221-237, 1998.
[4] J.P. Petit & P. Midy: Astrofísica da matéria fantasma-matéria. 1: O quadro geométrico. A era da matéria e a aproximação newtoniana. Física Geométrica A, 4, pp., 1998.
[5] J.P. Petit & P. Midy: Matéria escura repulsiva. Física Geométrica A, 3, fev. 1998.
[6] J.P. Petit & P. Midy: Astrofísica da matéria fantasma-matéria. 1: A era da matéria e a aproximação newtoniana. Física Geométrica A, 4, mar. 1998.
[7] R. Adler, M. Bazin & M. Schiffer: Introdução à Relatividade Geral. Mac Graw Hill Book Company, 1965.
Agradecimentos :
** **Este trabalho é apoiado pelo CNRS francês e pela empresa A. Dreyer Brevets et Développement.
Depositado em envelope lacrado na Academia de Ciências de Paris, 1998.
Comentário sobre este artigo.
Matematicamente, a solução apresentada não possui pontos de sombra. Simplesmente ignoramos a pressão de entrada nas equações de campo, no tensor T, que se torna:
o que significa que:
p é, dimensionalmente, uma densidade de energia, em joules por metro cúbico. rc² também. Se o meio fosse gasoso, isso significaria, por exemplo, que a pressão é a medida da densidade de energia cinética, relacionada a uma velocidade média de agitação térmica . Suponhamos que o meio interno possa ser considerado um gás perfeito. Então a pressão da matéria se escreveria:
Observamos que a aproximação realizada equivale a supor que a velocidade de agitação térmica no objeto é não-relativista. Esse modelo é, portanto, adequado para descrever estrelas "ordinárias", incluindo estrelas envoltas por vácuo, com simetria esférica, que não giram sobre si mesmas.
Esta solução é diferente da desenvolvida anteriormente, que pode ser encontrada descrita, por exemplo, na obra de Adler, Schiffer e Bazin: Introdução à Relatividade Geral, 1975, Mac Graw Hill books. Desde o início, esta solução foi concebida para lidar com um meio de pressão não nula. O encaixe entre a métrica externa e a métrica interna é feito assumindo p = 0 na superfície do astro. Obtém-se então a métrica:
Observa-se que, ao fazer expansões em série assumindo:
as duas métricas (esta e a nossa) se aproximam assintoticamente. De qualquer forma, ao assumir pressão não nula, falta uma equação de estado p = p(r). No entanto, o trabalho leva à famosa equação TOV (Tolmann, Oppenheimer, Volkov), que é uma equação diferencial em (p, p', r), onde p' representa a derivada espacial da pressão.
m é a função m(r):
(ver artigo ou obras). Essa equação é classicamente usada para descrever o interior de estrelas de nêutrons, onde se assume simplesmente r = constante (da ordem de 10¹⁶ g/cm³). Obtém-se então uma equação diferencial que dá a evolução da pressão. Cabe notar que, quando a estrela vê sua massa crescer, o que deveria ocorrer a densidade constante, já que esse empacotamento de nêutrons é suposto incompressível, a primeira crítica que surge diz respeito à pressão, que atinge um valor infinito no centro, mesmo que o raio do astro ainda seja maior que seu raio de Schwarzschild.
Naturalmente, tentamos implementar uma solução análoga para as duas métricas conjugadas. Fisicamente, o problema é desafiador. No folheto onde se encontra o astro, suposto, por exemplo, ser o folheto F, o nosso, temos duas funções escalares p(r) e r(r) que deveriam descrever o campo de pressão e a densidade na estrela de nêutrons, com r(r) = constante. Na medida em que a geometria no segundo folheto decorre da equação:
S* = - c T
esses elementos p(r) e r(r) aparecem então no segundo membro. No entanto, o segundo folheto deveria ser vazio (r* = 0) e com pressão nula (p* = 0). Mas a estrutura escolhida, o sistema de duas equações de campo acopladas, faz com que esses termos contribuam para a geometria do outro folheto.
Quando aplicamos a máquina clássica, recuperamos equações semelhantes, que derivam finalmente do formalismo clássico com a simples troca r por -r e p por -p. Também encontramos uma equação TOV. Mas essa equação diferencial deve obrigatoriamente dar a mesma solução. Não pode haver duas equações diferenciais diferentes fornecendo p(r). Porém, a equação à qual chegamos é diferente. Ela corresponde simplesmente à substituição global:
p → -p
r → -r
m → -m
com:
m → -m
A equação diferencial TOV não é invariante sob essa transformação, e obtemos então:
(o sinal negativo no denominador se transforma em positivo).
Há, portanto, inexistência de solução com pressão não nula, pelo menos segundo esta abordagem inspirada na abordagem clássica. Longe de nos desencorajar, esse fato nos parece indicar que o problema deve ser abordado de forma diferente, o que tentaremos em trabalhos futuros, dedicados ao estudo da abordagem da criticidade em uma estrela de nêutrons. Desenvolvemos um modelo da era radiativa, correspondente ao artigo Geometrical Physics A, 6, onde as constantes da física são supostas, de certa forma, indexadas ao valor da pressão radiativa. Ao retroceder antes da época do desacoplamento, no modelo padrão, chega-se a condições em que não apenas a contribuição da pressão para o campo deixa de ser desprezível, mas onde essa contribuição é essencialmente devida à radiação. Isso significaria que as constantes da física dependeriam da densidade de energia eletromagnética, alias pressão radiativa. Assim, começamos uma abordagem para o estudo de estrelas de nêutrons, onde o termo:
já não é mais desprezível diante de r, assumindo que as constantes da física (G, h, c, a massa do nêutron, mais outras constantes) dependem então do valor local da pressão (estudamos uma solução suposta estacionária, em equilíbrio). Como o início da crítica na estrela começa com o aumento da pressão no centro, e nesta ótica o valor local da velocidade da luz seguiria essa elevação, condições em que c é infinito deveriam, segundo nossa visão, estar associadas a uma ruptura da topologia do espaço-tempo, no coração do astro. Enquanto p e c permanecem finitos, essa topologia permanece hiperesférica, ou seja, é possível "descascar" a estrela de nêutrons até seu centro. Há sempre matéria e permanecemos no mesmo folheto. Mas, e estamos trabalhando nessa direção, o aumento do valor local de c em direção a um valor infinito deveria provocar uma mudança de topologia, a geometria no centro da estrela se modificando, com a aparição de um "ponte hipertórica", passagem entre...