universo gêmeo astrofísica e cosmologia Matéria fantasma matéria astrofísica.6. Estrutura em espiral.(p3)
- Como definir as condições iniciais para uma simulação numérica em 2D.
Criação de uma solução 2D do tipo Eddington para o par de equações de Poisson + Vlasov.
As soluções não uniformes (elípticas) da equação de Vlasov têm sido intensamente estudadas há muito tempo em 3D. A seguir, consideramos movimentos e posições em 2D, de modo que é necessário construir a solução elíptica autoconsistente em 2D da equação de Vlasov.
Escrevamos a equação de Vlasov:
(1)
onde:
(2)
f(x, y, u, v, t) é a função de distribuição da velocidade. A equação (1) está escrita na notação tensorial dyádica, em termos da velocidade peculiar (residual ou térmica) C = (u, v).
<V> é a velocidade macroscópica. m é a massa de uma partícula.
**** é o vetor posição (x, y).
As letras em negrito representam vetores. O último termo da equação (2) representa o produto escalar de dois tensores dyádicos (ver referência [20]). Introduzimos agora uma solução elíptica 2D do tipo Eddington:
(3)
onde C é a velocidade residual, a velocidade térmica. Em condições de estado estacionário, a equação de Vlasov torna-se:
(4)
Combinando com a solução de Vlasov, obtemos:
(5)
Trata-se de um polinômio de terceira ordem nas componentes u e v da velocidade térmica C. Uma solução surge:
(6)
Então:
(7)
A partir dos termos de terceira ordem, obtemos:
(8)
A partir dos termos de segunda ordem:
(9)
Combinando, obtemos o seguinte sistema:
(10)
Ou seja:
(11)
Então:
(12)
A função de distribuição torna-se:
(13)
onde C é a componente radial da velocidade térmica C e Cp sua componente azimutal. Obtemos então:
(14)
Na solução clássica (tridimensional) de Eddington, tínhamos um elipsóide de velocidades cujo eixo maior apontava para o centro do sistema. Veja a figura 6.
Figura 6: Elipsóide de velocidades correspondente a uma solução do tipo Eddington.
Na presente solução elíptica 2D do tipo Eddington, obtemos uma elipse de velocidades cujo eixo maior é constante e aponta para o centro do sistema. No centro, a elipse de velocidades torna-se um círculo (distribuição de Maxwell-Boltzmann em 2D da velocidade). Como será mostrado mais adiante, seu eixo maior (velocidade térmica radial média) é constante em relação à distância radial v. Seu eixo transverso (velocidade térmica azimutal média) tende a zero no infinito. Veja a figura 7.
Figura 7: Evolução da elipse de velocidades, na solução 2D do tipo Eddington, em função da distância ao centro do sistema.