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Prólogo.
...A física
é como um bolo:
(1)
- Primeiro andar: observações,
experimentos. - Segundo andar: equações diferenciais.
- Terceiro andar: geometria
- Quarto andar: teoria dos grupos.
Os grupos governam a geometria,
que gera belas equações diferenciais.
Com equações diferenciais
construímos coisas, que depois são usadas para explicar ou prever o que chamamos de fatos
físicos.
...Historicamente os homens começaram a estudar e a codificar
fatos, observações, realizando medições. Depois imaginaram leis de
conservação e "leis físicas". No início do século começaram a pensar
que as leis físicas poderiam ter algo a ver com a geometria.
No mesmo período, Felix
Klein perguntou:
O que
é uma geometria?
Observe que ele disse "uma geometria" e não "geometria" (programa de Erlangen)
...Klein,
Lie, Cartan e outros mostraram que algo estava por baixo da aparência geométrica.
A geometria não era o último andar, o nec plus ultra do conhecimento em física.
A partir de uma estrutura de grupo pode-se construir uma geometria.
A seguir tentaremos
mostrar a ligação entre grupos, geometria e física.
A propósito, acima dos grupos, o quê?
...Eu
tenderia a dizer: lógica. Mas a lógica é um apartamento cujo último ocupante foi Kurt
Gödel, um perigoso piromaníaco. Com seu conhecido teorema ele ateou fogo
aos móveis, que foram completamente destruídos. Desde essa tragédia, a sala
está desocupada.
...É por isso que coloquei um ponto de interrogação ali.
Grupos.
...O que é
um grupo? A seguir limitamos a investigação a grupos dinâmicos da
física: um conjunto de matrizes quadradas (n,n) que obedecem a axiomas definidos. Essas matrizes
g, elementos
de um grupo G, agem cada uma sobre outra através da multiplicação matricial clássica (linha-coluna). Entre essas matrizes quadradas encontramos matrizes identidade.
(1-bis)
...Um
grupo obedece aos axiomas definidos pelo matemático norueguês Sophus Lie.
Esses axiomas se aplicam a objetos muito mais gerais que conjuntos de matrizes.
Mas limitaremos nosso olhar a este mundo peculiar e usaremos a multiplicação de matrizes:
x
1 - Primeiro axioma da
teoria dos grupos:
O produto de dois elementos
g1 e g2 de
um grupo G:
(2)
g3
= g1 x g2
obedece a:
(3)
Vamos dar um exemplo
de um grupo de matrizes, que depende de um único parâmetro a. O elemento
é:
(4)
O produto de dois elementos
dá:
(5)
ou:
(6)
g(a)
x
g(b)
= g( g ) = g( a
- b ) = g ( g )
Podemos escrever o produto de matrizes:
(7)
que é semelhante a g1
e g2, isto é:
(8)
Exemplo contrário: Considere o seguinte conjunto de matrizes que dependem
de um único parâmetro a
(9)
O produto de dois elementos
dá:
(10)
que é basicamente diferente de (5).
2 - Segundo axioma
da teoria dos grupos:
No conjunto de elementos
devemos encontrar um elemento peculiar, chamado elemento neutro e, que, combinado
com qualquer outro elemento, obedece a:
(11)
g x e = ex g = g
Em grupos cujos elementos
são matrizes quadradas, esse elemento neutro e é sempre a matriz identidade
1.
(12)
g x 1
= 1 x g = g
Observe que usamos tipos leves para descrever escalares e tipos em negrito para outros objetos: matrizes quadradas, de linha
ou de coluna.
Voltemos ao
primeiro exemplo de grupo:
(13)
Observe que:
(14)
