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Prólogo.
...A física é como um bolo:
(1)
- Primeiro andar: observações, experimentos.
- Segundo andar: equações diferenciais.
- Terceiro andar: geometria - Quarto andar: teoria dos grupos.
Os grupos governam a geometria, que gera belas equações diferenciais.
Com as equações diferenciais, construímos coisas, que depois são usadas para explicar ou prever o que chamamos de fatos físicos.
...Historicamente, os homens começaram a estudar e codificar fatos, observações, realizando medições. Depois imaginaram leis de conservação e "leis físicas". No início do século, começaram a pensar que as leis físicas poderiam ter alguma relação com a geometria.
Na mesma época, Felix Klein perguntou: O que é uma geometria?
Observe que ele disse "uma geometria" e não "a geometria" (programa de Erlangen).
...Klein, Lie, Cartan e outros mostraram que havia algo escondido por trás da aparência geométrica. A geometria não era o último andar, o nec plus ultra do conhecimento na física. A partir de uma estrutura de grupo, pode-se construir uma geometria.
No que se segue, tentaremos mostrar a ligação entre grupos, geometria e física.
A propósito, sobre os grupos, o quê?
...Tenderia a dizer: lógica. Mas a lógica é um cômodo cujo último morador foi Kurt Gödel, um piromaniaco perigoso. Com seu bem conhecido teorema, ele incendiou os móveis, que foram completamente destruídos. Desde aquela tragédia, o cômodo está vazio.
...É por isso que coloquei um ponto de interrogação ali.
Grupos.
...O que é um grupo? No que se segue, limitaremos o estudo aos grupos dinâmicos da física: um conjunto de matrizes quadradas (n,n) obedecendo a axiomas definidos. Essas matrizes g, elementos de um grupo G, atuam umas sobre as outras por multiplicação matricial clássica (linha-coluna). Entre essas matrizes quadradas, encontramos as matrizes unitárias.
(1-bis)
...Um grupo obedece aos axiomas definidos pelo matemático norueguês Sophus Lie. Esses axiomas se aplicam a objetos muito mais gerais que conjuntos de matrizes. Mas limitaremos nossa atenção a esse mundo particular e usaremos a multiplicação matricial:
x
1 - Primeiro axioma da teoria dos grupos:
O produto de dois elementos g1 e g2 de um grupo G:
(2)
g3 = g1 x g2
obedece a:
(3)
Dêmos um exemplo de grupo de matrizes, dependente de um único parâmetro a. O elemento é:
(4)
O produto de dois elementos dá:
(5)
ou:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Podemos escrever o produto matricial:
(7)
o que é semelhante a g1 e g2, ou seja:
(8)
Exemplo contrário: Considere o seguinte conjunto de matrizes dependentes de um único parâmetro a
(9)
O produto de dois elementos dá:
(10)
o que é fundamentalmente diferente de (5).
2 - Segundo axioma da teoria dos grupos:
No conjunto dos elementos, devemos encontrar um elemento particular, chamado elemento neutro e, que, combinado a qualquer outro elemento, obedece a:
(11) g x **e = e **x **g **= g
Nos grupos cujos elementos são matrizes quadradas, esse elemento neutro e é sempre a matriz unidade 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Observe que usamos letras em romano para escalares e em negrito para outros objetos: matrizes quadradas, linhas ou colunas.
Lembre-se do exemplo inicial de grupo:
(13)
Observe que:
(14)
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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Prologue.
...Physics is like a cake :
(1)
- First floor : observations, experiments.
- Second floor : differential equations.
- Third floor : geometry - Fourh floor : groups theory.
Groups rule geometry, which fathers beautiful differential equations.
With differential equations we build things, which then are used to explain or predict what we call physical facts.
...Historically men began to study and to codify facts, observations, performing measurements. Then they imagined conservations laws, and "physical laws". At the begining of the century they began to think that physical laws could have something to do with geometry.
At the same period, Felix Klein asked : What is a geometry ?
Notice he said "*a *geometry" and not "geometry" (Erlangen's program)
...Klein, Lie, Cartan and others showed that something lied under geometrical appearence. Geometry was not the last floor, the nec plus ultra of knowledge in physics. From a group structure one can build a geometry.
In the following we will try to show the link between groups, geometry and physics.
By the way, upon groups, what ?
...I would tend to say : logics. But logics is a flat whose last occupier was Kurt Gdel, a dangerous pyromaniac. With his well-known theorem he put fire to the furniture,which was completely destroyed. Since this tragedy, the room is unoccupied.
...That's for I put a question mark there.
Groups.
...What's a group ? In the following we limit the investigation to dynamic groups of physics : a set of square matrixes (n,n) obeing defined axioms. Theses matrixes g, elements of a group G, act each on another through classical (line-column) matricial multiplication . Among these square matrices we find unity matrixes.
(1-bis)
...A group obeys the axioms defined by the Norvegian mathematician Sophus Lie. These axioms apply to objects which are much more general than matrixes sets. But we will limit our glance on this peculiar world and use the matrix-multiplication :
x
1 -** First axiom of groups'theory :**
The product of two elements g1 and g2 of a group G :
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g3 = g1 x g2
obeys :
(3)
Let us give an example of a group of matrix, which depends on a single parameter a . The element is :
(4)
The product of two elements gives :
(5)
or :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We can write the matrix-product :
(7)
which is similar to g1 and g2 , i.e :
(8)
Example to the contrary : Consider the following set of matrixes which depend on a single parameter a
(9)
The product of two elements gives :
(10)
which is basically different from (5).
2 - Second axiom of groups'theory :
In the set of elements we must find a peculiar one, called neutral element e , which, combined to any other element, obeys :
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groups whose elements are square matrixes this neutral element e is always the unity matrix 1 .
(12) g x 1 = 1 x g = g Notice we use lightfaced types to describe scalars and bold types for other objects : square or line or colomn matrixes.
Let us return to the first example of group :
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Remark that :
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