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3 - Terceiro axioma da teoria dos grupos :
Todo elemento do grupo deve possuir seu inverso, denotado g⁻¹, definido por:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
No nosso exemplo:
(16)
ou seja: b = - a ou:
(17) g⁻¹ ( a ) = g ( - a )
Aqui, o cálculo da matriz inversa é trivial.
Qual é a condição para que uma matriz quadrada dada possua seu inverso?
...A qualquer matriz quadrada, podemos associar um escalar chamado determinante. Para a definição, ver um livro dedicado ao cálculo linear. Este determinante é denotado: det ( g )
Além disso, temos um teorema geral:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
O determinante de uma matriz diagonal é:
(18)
Portanto: det ( 1 ) = 1
pois 1 é uma matriz diagonal.
De acordo com a definição do inverso de uma matriz:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Então:
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...Se det (g) = 0, a condição (19) não pode ser satisfeita. Os conjuntos de matrizes cujos elementos particulares têm determinante nulo não satisfazem o terceiro axioma e não podem formar um grupo.
Ademais:
(20)
4 - Quarto axioma da teoria dos grupos:
A multiplicação deve ser associativa, ou seja:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
A multiplicação matricial é fundamentalmente associativa.
Dimensão de um grupo:
...Como veremos, um grupo pode atuar em um espaço cujos pontos são descritos por vetores coluna. Por exemplo, os pontos do espaço-tempo (chamados "eventos"):
(22)
...Este é um espaço de quatro dimensões. Diferentes grupos podem atuar sobre ele. Mas a dimensão de um grupo não tem nada a ver com a dimensão do espaço sobre o qual ele atua.
A dimensão de um grupo (de matrizes) é o número de parâmetros que definem estas matrizes quadradas.
Demos um exemplo de matrizes definidas por um único parâmetro
a
Assim, a dimensão deste grupo é um.
Observe que:
(22-bis)
Observação:
Todos os grupos de matrizes não são comutativos, embora o grupo que estudamos possua esta propriedade:
(23)
Se tal grupo atua sobre um vetor coluna correspondente a um espaço de duas dimensões:
(23 bis)
isso corresponde a uma rotação em torno de um ponto fixo, em um plano:
(23 ter)
Esta operação é obviamente comutativa.
Você tende a dizer: "como todos os grupos de rotações".
...Você está errado. Considere as rotações em torno de eixos que passam por um ponto dado O. Combine duas rotações sucessivas, em torno de eixos diferentes. Isso não é comutativo. Exercício: mostre isso usando um sistema de eixos ortogonais (OX, OY, OZ), mostrando que as rotações combinadas em torno desses eixos não formam uma operação comutativa. Pegue qualquer objeto.
- Faça uma rotação de +90° em torno de OX, depois uma rotação de +90° em torno de OZ
- Volte às condições iniciais e:
- Faça uma rotação de +90° em torno de OZ, depois uma rotação de +90° em torno de OX
Compare os resultados.
Ação de um grupo.
...Um grupo G é composto por matrizes quadradas g. Elas podem ser multiplicadas. Diremos que um grupo pode agir sobre si mesmo.
O grupo também pode agir em um espaço composto por pontos descritos por vetores coluna. Exemplo:
(24)
Se escrevermos:
(25)
a ação do grupo neste espaço torna-se:
(26) g × r
...Neste caso particular, a ação sobre o espaço reduz-se à simples multiplicação matricial. Mas o conceito de ação é muito mais geral.