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Um parêntese: orientação espaço-tempo.
** ...**No mundo de 2D, havíamos assimilado os objetos geométricos a letras. No mundo de 3D, tinham sido assimilados a "mão direita" e "mão esquerda".
Estruturas de quatro dimensões haviam sido assimiladas a hologramas animados.
**...**O que poderia ser uma estrutura de cinco dimensões, ou de dez dimensões? Às vezes, invejo Deus, não é verdade?
**...**Ele deve rir ao olhar para nossas misérrimas estruturas de quatro dimensões.
**...**Mas um físico teórico, e até mesmo um matemático, nada mais é do que uma estrutura de quatro dimensões orientada. Se não fossem orientados assim, não poderiam distinguir o passado do futuro, nem a direita da esquerda.
**...**O universo como um todo é uma estrutura de quatro dimensões. Imaginemo-lo como um objeto fechado, com topologia localmente esférica. Chamemos t de tempo. Em um instante dado, podemos fazer um corte, que é uma hipersuperfície de 3D. Se esta última for uma hiperesfera S3, o tempo faz sentido. O vetor tempo atravessa essa hipersuperfície e não temos situações paradoxais.
**...**Reduzamos o número de dimensões. Imagine um mundo fechado de duas dimensões, uma espécie de espaço-tempo (x,y,t).
**...**Podemos cortá-lo em t = constante, obtendo assim um objeto geométrico cuja dimensão é 3 - 1 = 2: uma superfície de 2D. Em qualquer ponto, o vetor normal orientado representa a seta do tempo.
Se esse espaço-tempo puder ser orientado no tempo (supomos que é fechado), então o espaço é uma esfera S2:
(152)
**...**Mas suponha que a superfície que representa o espaço seja de apenas uma face. Tome por exemplo uma superfície de Boy (que é uma superfície fechada de uma única face. Veja a seção "Matemática" do site).
(153)
Você pode construir uma colando tiras de Möbius. Mostro uma aqui:
(154)
Você sabe que não é possível definir um vetor normal orientado:
(155)
**...**O revestimento de duas folhas de uma superfície de Boy é uma esfera S2. Se assimilarmos nosso espaço-tempo tridimensional a um conjunto de esferas S2, dispostas como bonecas russas, cada uma correspondendo a um valor dado de um tempo cósmico t, podemos imaginar (com dificuldade) certo tipo de espaço-tempo onde pontos antipodais poderiam ser identificados. Era essa a estrutura topológica sugerida no artigo:
Jean-Pierre Petit: "O problema da massa faltante". Il nuovo Cimento B, vol. 109, julho de 1994, pp. 697-710.
**...**Em seguida, sabemos que pontos antipodais localizados em um "equador" de uma esfera podem ser dispostos como o revestimento de duas folhas de uma tira de Möbius:
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Assim vemos como regiões espaciais antipodais são conjugadas a setas do tempo opostas.
(157)
**...**A propósito, vemos como isso conjugaria objetos enantiomorfos.
**...**O espaço é uma hipersuperfície de quatro dimensões. Se pudermos definir um tempo cósmico t, podemos fazer cortes em t = constante, e esses cortes são espaços de 3D. Se o espaço for fechado, poderíamos assimilá-lo a uma esfera S3, que pode ser modelada como o revestimento de duas folhas de um espaço projetivo P3 (o equivalente da superfície de Boy em 3D). Essa operação colocaria regiões com setas do tempo opostas em interação.
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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A parenthesis : Space-time orientation.
** ...**In 2d's world we assimilated geometrical objects to letters. In 3d's world they were assimilated to "right hand" and "left hand".
Four-dimensional structures were assimilated to animated holograms.
**...**What the hell could be a five-dimensional structure, or a ten dimensional one ? Sometimes I envy God, don't you?
**...**He must laugh, looking at our miserable four dimensional structures.
**...**But a theoretical physicist, and even a mathematician, are nothing but oriented four dimensional structures. If they were not, they could not distinguish past from future, and the right from the left.
**...**The universe, as a whole, is a four dimensional structure. Let us think about it as a closed object, with locally spherical topology. Call t the time. At a given time we can make a cut, which is a 3d hypersurface.If this last is a hypersphere S3, time makes sens. The vector time crosses this hypersurface and we get no paradoxical situation.
**...**Let us reduce the number of dimensions. Imagine a closed two dimensional world, some sort of space time (x,y,t).
**...**We can cut it at t = constant, then we get a geometrical object whose dimension is 3 - 1 = 2 : a 2d surface. At any point the oriented normal vector figures the arrow of time.
If this space-time can be oriented in time ( we suppose it is closed ) at given time, space is a S2 sphere :
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**...**But suppose the surface representing space is single-sided. Take a Boy surface, for an example ( which is a closed single-sided surface. See the section "Mathematics" of the site ).
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You can build a one just gluying Mbius strips together. I show a one :
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You know that you cannot define an oriented normal vector :
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**...**The two folds cover of a Boy's surface is a sphere S2. If we assimilate our three dimensional space-time to a sets of spheres S2, arranged like russian dolls, each corresponding to a given value of a cosmic time t, we can think (hardly ) to some sort of space-time where antipodal points could be put together. That was the topological structure suggested in the paper :
Jean-Pierre Petit : "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, july 1994, pp. 697-710.
**...**Then we know that antipodal points, located on an "equator" of a sphere can be arranged as the two-folds cover of a Mbius strip :
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We see how this conjugates space-antipodal regions with opposite time's arrows.
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**...**By the way, we see how it would conjugate enantiomorphic objects.
**...**Space is a four dimensional hypersurface. If we can define a cosmic time t, we can make cuts at t = constant and these cuts are 3d spaces. If space is closed, we could assimilate it to a S3 sphere, which can be shaped as the two folds cover of a projective space P3 ( the equivalent of a Boy's surface, in 3d ). This operation would put opposite time's arrow regions into interaction.