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**Os grupos de Galileu **( orientados no espaço-tempo e grupo completo ).
Podemos sugerir diferentes nomes para este grupo.
GGSOTO ( Galileu orientado no espaço e orientado no tempo )
ou: GSG ( Grupo de Galileu especial ).
Ou simplesmente: SG(3,1): Grupo de Galileu especial.
3 dimensões do espaço, 1 para o tempo. Lembre-se que tínhamos expresso a ação do grupo PT da seguinte forma:
(158)
Em seguida, passamos para um grupo orientado no espaço e no tempo. Poderíamos escrever de forma semelhante a ação de tal grupo:
(159)
Trata-se de um subgrupo de um grupo mais refinado:
(160)
O "grupo de Galileu orientado no espaço e no tempo". Com:
(161)
A ação correspondente é a seguinte:
(162)
Trata-se de um grupo com uma componente (conexa). É um subgrupo do grupo completo de Galileu, com quatro componentes:
(163)
que regula as simetrias P, T e PT:
(164)
e também levanta a questão dos objetos anticrônicos (como faremos mais adiante, mas com base relativista).
Movimentos.
Os objetos geométricos 4D são "hologramas animados". Na estrutura 4D, podemos fazer cortes em instantes sucessivos. Cada corte constitui um objeto 3D, composto por pontos (xi, yi, zi). É mais simples considerar um objeto pontual se movendo no espaço-tempo. A estrutura espaço-tempo considerada torna-se então uma trajetória, um movimento.
...Decidimos assimilar as partículas da física aos movimentos de pontos. Eles podem ser "pontos-massas" ou energias pontuais (fótons, neutrinos).
...Podemos considerar todos os movimentos possíveis de todas as partículas possíveis e incluí-los em um
(165)
espaço de movimentos.
...No espaço-tempo, podemos determinar todas as trajetórias possíveis dos fótons, prótons, nêutrons, neutrinos, antiprótons, etc. Consideramos um número infinito de posições, velocidades e outros parâmetros possíveis, a serem descobertos posteriormente. Entre esta infinidade de trajetórias estão as relativas a uma partícula específica: um elétron, por exemplo. Outras trajetórias correspondem ao fóton. Elas são diferentes. Elas formam duas famílias distintas, duas
espécies distintas de movimentos.
Procuramos como classificar as partículas. Em seguida, procuramos como definir as espécies de movimentos.
Usaremos um método semelhante ao de Euclides. A questão central é a seguinte:
Quais "objetos" pertencem à mesma espécie?
...Resposta: aqueles que podem ser superpostos uns aos outros graças à ação de elementos pertencentes a um grupo que constitui um subgrupo chamado de regularidade desses objetos.
...No mundo de Euclides, você não pode transformar uma esfera em um cubo, nem vice-versa. Eles pertencem a espécies distintas. Não existe nenhum subgrupo que permita transformar esferas em cubos, e vice-versa.
...Da mesma forma, em um grupo a ser definido, não existe nenhum elemento pertencente a um subgrupo específico que permita transformar o movimento de um fóton no movimento de um elétron. Eles são fundamentalmente diferentes; pertencem a espécies distintas.
Se existe um elemento do grupo cuja ação transforma um movimento em outro movimento, então esses movimentos pertencem à mesma espécie. São dois movimentos distintos de uma mesma partícula.
...Não vamos abordar sistemas com várias partículas, como átomos ou moléculas. Vamos nos concentrar na análise das partículas livres, se movendo em um espaço vazio. Durante esse movimento, um certo número de parâmetros é conservado (massa, energia, outros...).
Mas a simples análise da trajetória espaço-tempo de uma partícula não é suficiente para identificá-la nem inscrevê-la em uma espécie definida.
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Um próton e um nêutron podem seguir a mesma trajetória à mesma velocidade.
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Duas partículas podem seguir a mesma trajetória à velocidade v = c, mas uma pode ser um fóton e a outra um neutrino.
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Como veremos mais adiante, dois fótons seguindo a mesma trajetória, na mesma direção, à velocidade da luz, podem ser diferentes. Eles são P-simétricos.
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Um possui uma helicidade direita.
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O outro uma helicidade esquerda.
Isso corresponde à polarização da luz. Eles pertencem a espécies distintas? Isso depende do grupo escolhido.
Uma espécie é relativa a um grupo dado.
O momento.
...Um movimento é uma escolha particular, um ponto no **espaço dos momentos **. Consideremos os movimentos das espécies que diferem apenas pela massa. Tomamos duas espécies. Uma partícula de massa ma não pode ser convertida em uma partícula de massa mb. Mesmo que suas trajetórias possam ser idênticas no espaço-tempo, as consideramos como movimentos diferentes pertencentes a duas espécies distintas, ou:
duas espécies distintas de movimentos. (166)
O momento é um conjunto de parâmetros: **J **= { J1 , J2 , J3 , ........, Jn } um deles é a energia: J1 = E.
Três outros: ( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
formam o vetor de momento p, todas quantidades familiares aos físicos.
...Essas quantidades podem aparecer como grandezas puramente geométricas, diretamente ligadas ao grupo escolhido. Você verá mais adiante que o número de quantidades que formam o momento é igual à dimensão do grupo.
...Então, quais são as regras do jogo ao qual vamos jogar?
Versão original (inglês)
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**The Galileo groups **( space-time oriented and complete group ).
We can suggest different names for this group.
GGSOTO ( Galileo space oriented and time oriented )
or : GSG ( Special Galileo group ).
Or, simply : SG(3,1) : Special Galileo group.
3 dimensions of space, 1 for time. Remember we wrote the action of the PT group as follows :
(158)
Then we shifted to some space and time oriented group. We could similarly write the action of such a group :
(159)
This is a sub-group of a more refined one :
(160)
The "space and time oriented Galileo's group". With :
(161)
The corresponding action is :
(162)
This is a one component ( connex ) group. It is a sub-group of the complete, four components Galileo group :
(163)
which rules P, T and PT symmetries :
(164)
and arises the problem of antichron objects too ( as it will be done further, but on relativistic grounds ).
Movements.
4d-geometrical objects are "animated holograms". In the 4d structure we can make cuts, at successive times. Each cut is a 3d object, made of (xi,yi,zi)
points. It is simpler if we consider a point-like object moving in space-time. Then the considered space-time structure becomes a paths, a movement.
...We decide to assimilate the particles of physics to movements of points. Either they will be some "mass-points", or punctual energy (photons, neutrinos).
...We can consider all the possible movements of all the possible particles and include them in a
(165)
space of movements.
...In space time we can find all possible paths of photons, proton, neutrons, neutrinos, anti-proton, an son on. We consider an infinite number of possible positions, velocities, and other parameters, to be discovered. Among this infinity of paths are the paths refering to a given particle : an electron, for example. Other paths refers to photon. They are different. They form two distinct families, two
distinct species of movements.
We search how to classify particles. Then we search how to define movements' species.
We will use a method similar to Euclid's. The central question is :
What "objects" belong to the same species ?
...Answer : those that can be put one on the other through the action of elements of a group which belong to some sub-group called the regularity of such objects.
...In Euclid's world you cannot transform a sphere into a cube, and vice-versa. They belong to distinct species. There is no sub-group which makes possble to transform spheres into cubes, and vice-versa.
...Similarly, in some group, to be defined, there is no element, belonging to some sub-group, which makes possible to transform the movement of a photon into the movement of an electron. They are basically different, they belong to distinct species.
If there is an element of the group whose action transforms a movement into another movement, then these movements refer to a same species. They are two different ovements of a same particle.
...We are not going to deal with many-particles systems, like atoms, molecules. We will focuss on free particle analysis, cruising in an empty space. Then, during this cruise, a certain number of parameters are conserved (mass, energy, others...)
But the simple examination of the space-time path of a particle is not enough to identify it and put it into a defined species.
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A proton and a neutron can cruise along the same path, at same velocity.
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Two particles can follow the same path, at v = c but one can be a photon and the other a neutrino.
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As we will see later, two photons following the same path, in the same direction, at the velocity of light, can be different. The are P-symmetrical.
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One owns a right helicity .
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The other a left helicity .
This correspond to polarization of light. Do they belong to distinct species ? Depend the group we choose.
A species is relative to a given group.
The momentum.
...A movement is a peculiar choice, a point in the **momentum space **. Consider movements of species whose only difference is mass. We take two species. A particle whose mass is ma cannot be converted into a particle whose mas is mb . Even if their trajectories can be identical in space-time we consider they are different movements of two distincts species or :
two distinct species of movements. (166)
The momentum is a set of parameters : **J **= { J1 , J2 , J3 , ........, Jn } One is Energy J1 = E .
Three others : ( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
form the impulsion vector p , all quantities which are familiar to physicists.
...These quantities can rise as pure geometric quantities, directly linked to the chosen group. You will see further that the number of quantities which forms the momentum is equal to the dimension of the group.
...Then what's the rules of the game we are going to play to ?