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O projeto.
... Nosso ponto de partida será um grupo dinâmico G, ou seja, uma família de matrizes quadradas g.
... Dinâmico: porque o tempo está envolvido.
... Esse grupo possui uma certa dimensão n. Pode atuar sobre um espaço X, que possui sua própria dimensão (a qual não tem nada a ver com a dimensão do grupo, esta última sendo o número de parâmetros independentes que definem cada matriz g do conjunto, formando o grupo G).
... Agora precisamos de uma ação, para definir um espaço sobre o qual o grupo age, seu espaço dos momentos (ou espaço das impulsões). Esse espaço não é o espaço-tempo no qual as partículas são supostas se mover. Construir tal espaço nos levará a um país estranho, que parecerá uma terra esquizofrênica. Mas se você seguir esse caminho, estará mais próximo da realidade física do que jamais esteve antes.
... Uma vez que dispomos de um espaço para atuar e de uma ação sobre a qual agir, poderemos classificar os momentos-movimentos em espécies e identificar essas espécies com partículas elementares.
... Acima, indicamos que o produto de um grupo por um vetor, correspondente a SO(2) e O(2), bem como a SO(3) e O(3), constitui uma ação: g × r
ou seja:
(166b)
Observe que podemos escrevê-lo de forma equivalente:
(167)
Para o grupo euclidiano orientado e o grupo euclidiano completo, devemos escrever uma ação:
(168)
Mas essas ações, assim como as ações correspondentes dos grupos dinâmicos sobre o espaço, como:
(169)
não produzem... nada. Elas apenas deslocam objetos no espaço, ou no espaço-tempo, ou em espaços mais refinados (espaço de cinco dimensões, espaço de dez dimensões).
Precisamos procurar algo "escondido sob o grupo": seu espaço dos momentos (todos os grupos de matrizes possuem um) e sua
ação coadunta sobre seu espaço dos momentos.
que corresponde à física real.
O que é física?
... Boa pergunta. O matemático francês Jean-Marie Souriau inventou o conceito de ação coadunta de um grupo sobre seu espaço dos momentos e o demonstrou no início da década de 1970. Esse ponto será desenvolvido posteriormente.
... É claro que o físico, após concluir os cálculos, perguntará:
Por quê?
... Ou seja, funciona, mas podemos dar uma significação física a esse conceito de ação coadunta de um grupo dinâmico sobre seu espaço dos momentos? A resposta parece ser não.
... Imagine que você seja um aluno de Aristóteles. De repente, tem uma intuição e inventa uma nova palavra para nomeá-la:
inércia.
... Aristóteles chega. Foi informado por outros alunos de que você havia inventado algo novo, e pergunta:
– Poderia nos explicar o que significa inércia?
Você não conseguirá fazê-lo usando o vocabulário de Aristóteles. Você terá encontrado uma mudança de paradigma.
... Passemos à Idade Média. Tente explicar uma reação química usando o vocabulário dos quatro elementos. Também é impossível...
A ação coadunta de um grupo sobre seu espaço dos momentos constitui uma mudança de paradigma. É uma nova abordagem da física.
Na verdade, os físicos manipulam constantemente ações de grupos quando falam de "invariância" ou de "leis de conservação".
Um físico convencional então fará a seguinte pergunta:
– Poderia me explicar, em termos simples, se possível, o que significa a ação coadunta de um grupo sobre seu espaço dos momentos?
Respondemos:
– Por que vocês usam leis de conservação na física?
– Ah... porque existem quantidades conservadas: energia, massa, carga elétrica...
– Por que elas são conservadas?
– Mas é um princípio fundamental!
– Meu caro amigo, considere a ação coadunta de um grupo sobre seu espaço dos momentos como um princípio fundamental.
– O que quer dizer?
– Toda física repousa sobre uma estrutura de grupo. Se você identificar o grupo, poderá construir sua ação coadunta e o espaço dos momentos correspondente. Em seguida, as componentes do momento tornam-se as grandezas físicas correspondentes.
– ………
Atenção. Se você é físico (mesmo físico teórico...) e está lendo o que segue, sofrerá uma mutação paradigmática. Depois disso, a física será simplesmente... diferente.
Ações.
O que é uma ação?
Algo ligado a um grupo, que obedece aos seguintes axiomas:
(170)
É claro que, para grupos de matrizes, a operação de composição é:
x
(multiplicação matricial linha-coluna)
Para grupos de matrizes, podemos escrever:
(171)
Considere o vetor coluna:
(172)
onde x, por exemplo, representa os vetores (173)
(174)
satisfaz os axiomas de uma ação? Sejam g e g' dois elementos do grupo G.
(175)
(175b)
Devemos ter:
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
ou seja:
(177)
em virtude da propriedade de associatividade:
(178) g'' = g × g'
trata-se, de fato, de uma ação do grupo.
... Observe que colocamos o elemento g do grupo G à esquerda. O que acontece se o colocarmos à direita? Então ele deve ser combinado com uma matriz linha y.
(179) Ag(y) = y × g
Trata-se de uma ação?