a4115
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Precisamos de:
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Mas:
O produto de duas matrizes não é, em geral, comutativo. Em consequência:
(181) Ag(y) = y × g
não é uma ação de grupo: ela não satisfaz os axiomas acima. No entanto, ela corresponde a uma "anti-ação":
(182)
Para as matrizes:
(183)
Continuamos nossa busca por ações e anti-ações. A partir do vetor x, podemos construir seu transposto e tentar:
(184)
Trata-se de uma ação? Vamos verificar.
g" = g × g'
(185)
(186)
Aqui, usamos um teorema do cálculo linear:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
onde M e N são matrizes arbitrárias (n,n). Deste modo:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
e:
(189)
que constitui uma ação de grupo. Consideremos agora:
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Mostremos que é uma ação. Vamos considerar as três matrizes seguintes.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
Devemos verificar:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Calculando o lado esquerdo:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
ou ainda:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
ou seja:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Trata-se, de fato, de uma ação de grupo. A chamaremos, segundo Souriau,
ação adjunta:
(193)
Agora vamos considerar uma anti-ação do grupo sobre uma matriz m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Mostremos que ela satisfaz:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Calculando o lado esquerdo:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
ou ainda:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
ou seja:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
ou ainda:
(199) g"⁻¹ × m × g"