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Precisamos de:
Ações duais.
Acima, construímos uma ação:
(200)
e uma anti-ação:
(201)
A primeira pode se referir a um vetor coluna m:
(202) m' = g x m
e a segunda a um vetor linha n:
(203) n' = n x g-1
m pertence a um certo espaço M
n pertence a outro espaço N.
Forme o escalar:
(204) S = n m Observe que:
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
...Diremos que as duas ações consideradas são duais. Da mesma forma, os dois espaços M e N, aos quais pertencem m e n, são espaços duais: N = M* ou M = N*
Normalmente, dizemos que se m é um vetor, n é seu covetor.
O prefixo co é característico da dualidade. Como observado por Souriau, a dualidade existe na política e ele acrescenta:
- A dualidade estava presente no marxismo-leninismo desde o início. Pense no comunista e no munista.
Adotemos outra perspectiva. Suponha que tenhamos uma ação e que queiramos construir a sua dual.
Esquematicamente:
(206)
...Para formar um produto escalar com o vetor coluna m, n deve ser um vetor linha. Esses dois vetores devem, portanto, ser definidos pelo mesmo número de escalares:
(207)
em seguida, procuramos a ação dual:
(208)
n' = Ag(n) de forma que o produto escalar:
(209)
permaneça invariante. Deve-se ter:
(210)
n' m' = n m Temos:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
cuja solução é:
(213) Ag(n) = n x g-1
**Em direção à construção da ação essencial, ou ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço momento **( após Souriau ).
Procuramos uma ação do grupo sobre seu "espaço momento". Vamos construí-la como a dual de uma anti-ação:
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
...Na seção anterior, m era um vetor. Mas em (214), é uma matriz. Vamos tomar uma matriz que depende de um certo número de parâmetros: { m1 , m2 , . . . . , mn }
Devemos imaginar um conjunto dual de escalares: { n1 , n2 , . . . . , nn }
para que:
(215)
Esquematicamente:
(216)
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
a4116
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We need :
Dual actions.
We have built, above, an action :
(200)
an anti-action :
(201)
The first can refer to any column vector m :
(202) m' = g x m
and the second to any line vector n :
(203) n' = n x g-1
m belong to a certain space M
n belongs to another space N.
Form the scalar :
(204) S = n m Notice that :
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
...We will say that the two considered actions are dual. Similarly the two spaces M and N, to which belong m and n are dual spaces : N = M* or M = N*
Usually, we say that if m is a vector, n is its covector.
The prefix co is typical of the duality. As noticed by Souriau, the duality exists in politics and he adds :
- The duality was present in the Marxism Leninism, from the begining. Think about the munist and the communist.
Take another point of view. Suppose we have one action, and we want to build its dual.
Schematically :
(206)
...In order to form a scalar product with the colum-vector m , n must be a line-vector. Then these two vector must be defined by the same number of scalars :
(207)
then we search the dual action :
(208)
n' = Ag(n) so that the scalar product :
(209)
be invariant. We must have :
(210)
n' m' = n m We have :
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
whose solution is :
(213) Ag(n) = n x g-1
**Towards building the essential action, or coadjoint action of a group on its momentum **( after Souriau ).
We search an action of the goup ont its "momentum space". We are going to built it as the dual of an anti-action :
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
...In the preceding section m was a vector. But in (214) it is a matrix. We will take a matrix, which depends on a certain number of parameters : { m1 , m2 , . . . . , mn }
We must imagine a dual set of scalars : { n1 , n2 , . . . . , nn }
so that :
(215)
Schematically :
(216)