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Escolha da matriz m.
... Um grupo G pode ser comparado a uma certa superfície. Ele depende de um certo número de parâmetros. Seja P esse espaço dos parâmetros do grupo e p um ponto desse espaço. O número desses parâmetros pi é a dimensão do grupo.
(217)
Mostrado: o elemento neutro e (a matriz identidade 1).
Podemos dar um incremento d p:
(218)
... Em seguida, derivamos a matriz g, que é um elemento do grupo. Obtemos uma matriz quadrada dg que não pertence ao grupo. Chamamos isso de vetor tangente ao grupo. Esses vetores tangentes formam o que se chama a álgebra de Lie do grupo (que, aliás, não é uma álgebra).
Escolhemos derivar na vizinhança do elemento neutro:
(219)
e escolhemos a seguinte anti-ação:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Observação:
Por que escolhemos o vetor tangente ao grupo em g = 1?
... Poderíamos usar uma forma mais geral, um vetor tangente dg em qualquer ponto do grupo. Obteríamos o mesmo resultado, mas os cálculos seriam muito mais penosos.
A dimensão do grupo é n. A matriz g depende de n parâmetros { pi }.
O elemento da álgebra de Lie dg(g=e) depende do mesmo número de parâmetros { d pi }.
O cálculo da anti-ação acima fornecerá a aplicação:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Introduzimos o mesmo número de escalares: { J i }
Chamamos esse conjunto de momento J do grupo. J = { J i }
É um conjunto de n grandezas, n escalares. Às vezes, podemos colocá-lo na forma de matriz (ação de Poincaré sobre seu momento).
{ J i } é o vetor cotangente { d p i } ao vetor tangente do grupo. A dualidade fornece:
(222)
A partir dessa conservação do produto escalar, se conhecemos a aplicação:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
podemos construir a aplicação dual:
(224) { J i } -----> { J 'i }
Essa é a ação essencial que procuramos, e Souriau a chama de ação coadjoinra do grupo sobre seu espaço de momentos.
A melhor maneira de ilustrar esse conceito é dar um exemplo:
Ação coadjoinra do grupo de Poincaré sobre seu espaço de momentos Jp.
Acima, apresentamos o grupo de Lorentz generalizado. Escolhendo:
(225)
obtemos o grupo de Lorentz L cujo elemento L obedece à definição axiomática:
(226)
O vetor espaço-tempo é (227)
Com c = 1, obtemos a forma quadrática elementar, a métrica de Minkowski:
(228)
A matriz inversa é (229)
Introduzimos agora uma translação no espaço-tempo:
(230)
construímos o elemento gp do grupo de Poincaré Gp da seguinte forma:
(231)
Exercício: mostrar que se trata de um grupo e calcular a matriz inversa:
(232)
O elemento da álgebra de Lie é (233)
e a anti-ação:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
Observamos que
(235) G d L
é uma matriz antissimétrica. Chamemo-la:
(236)
donde:
(237)
Seja:
(238)
a partir daí, podemos construir a anti-ação:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
o que nos dá a aplicação:
(240)
(240b) (240c)
é a aplicação procurada:
(241)
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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Choice of the matrix m .
...A group G can be compared to a certain surface. It depends on certain number of parameters. Let P be this space of the parameters of the group and **p **a point of this space. The number of these parameters pi is the dimension of the group.
(217)
Shown : the neutral element **e **( the unity matrix **1 **).
We can give an increement d p :
(218)
...Then we differentiate the matrix g which is the element of the group. We get a square matrix** dg** which does not belong to the group. One calls it the "tangent vector to the group".These tangent vectors forms what one calls the "Lie-Algebra" of the group ( which not an algebra, by the way ).
We chose to differentiate at the vicinity of the neutral element :
(219)
and we choose the following anti-action :
(220) AAg(m) = g-1 x d**g(g=e) **x g
Remark :
Why do we choose the tangent vector to the group at g = 1 ?
...We could use a more general , a tangent vector d**g **at any point of the group. We would get the same result, but the calculation would be much more tedious.
The dimension of the group is n. The matrix g depends on n parameters** **{ pi }..
The element of the Lie Algebra d**g(g=e) depends on the same number of parameters { **d pi }.
The computation of the above anti-action will provide the mapping :
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
We introduce the same number of scalars : { J i }
We call this set the momentum **J **of the group. **J **= { J i }
It is a set of n quantities, n scalars. Sometimes we can put it into a matrix ( Poincaré's action on its momentum ).
{ J i } is the* cotangent vector *{ d p i } to the tangent vector of the group. The duality gives :
(222)
From this conservation of the scalar product, if we know the mapping :
(223) { d p i } -----> { d p' i }
we may build the dual mapping :
(224) { J i } -----> { J 'i }
This is the essential action we search, and Souriau calls it coadjoint action of the group on its momentum space.
The better way to illustrate this conceot is to give an example :
Coadjoint action of the Poincaré group on its momentum space Jp .
Above, we presented the generalized Lorentz group. Chosing :
(225)
we get the Lorentz group L whose element L obeys the axiomatic definition :
(226)
The space-time vector is (227)
With c = 1 we get the elementary quadratic form, the Minkowski metric :
(228)
The inverse matrix is (229)
Introduce now a space-time translation :
(230)
we build the element gp of the Poincaré group Gp as follows :
(231)
Exercise : show it forms a group an compute the inverse matrix :
(232)
The element of the Lie algebra is (233)
and the anti-action :
(234) dgp' = gp-1 x dgp x gp
We notice that
(235) G d L
is an antisymmetrical matrix. Call it :
(236)
whence :
(237)
Let :
(238)
from this, we can build the anti-action :
(239) dgp' = gp-1 x dgp x gp
which will give us the mapping :
(240)
(240b) (240c)
is the required mapping :
(241)