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Partículas com spin.
...O grupo de Poincaré descreve o movimento relativístico de um objeto pontual. Da mesma forma, o grupo de Bargmann descreve o movimento não relativístico. As componentes do momento aparecem como grandezas puramente geométricas. É uma geometrização da física. Os físicos estão familiarizados com a energia E e o vetor momento p. Mas podem ficar um pouco confusos com os dois outros objetos: o "passage" f e o vetor spin l. A forma das componentes do momento depende da escolha das coordenadas. ...Cada grupo dinâmico possui seu espaço de momentos e sua ação coadunta sobre esse espaço. Se, em vez de escolher primeiro o mundo relativístico (grupo de Poincaré), tivéssemos escolhido o mundo não relativístico, teríamos que recorrer ao grupo de Bargmann. Para detalhes computacionais, veja minhas aulas sobre grupos. O grupo de Bargmann é uma extensão não trivial do grupo de Galileu: (272)
Como o leitor pode observar, este grupo age sobre um espaço de cinco dimensões:
r: espaço
t: tempo
z: uma variável adicional.
...Essas questões relativas às variáveis adicionais serão tratadas mais adiante. Neste site, o cálculo completo da ação coadunta do grupo de Poincaré foi dado acima. Também poderíamos derivar o cálculo da ação coadunta do grupo de Bargmann sobre seu espaço de momentos. Paradoxalmente, o cálculo no mundo não relativístico é um pouco mais complicado que no mundo relativístico. O resultado é o seguinte: (273)
O físico reconhece alguns objetos familiares, como a velocidade: (274)
e a energia cinética: (275)
m v é o momento. Velocidade em relação a quê? Um grupo muda os parâmetros do movimento, dá a uma partícula uma velocidade v e uma energia cinética E. Podemos adotar a interpretação inversa, considerando que um grupo é uma perspectiva particular sobre algo, sobre uma partícula. Se considerarmos o grupo SO(3), as matrizes a, isso significa "visto sob outro ângulo". Se considerarmos o grupo O(3), as matrizes a, isso acrescenta a possibilidade de observar "a coisa" através de um espelho.
O vetor de translação (276)
do grupo de Euclides acrescenta "visto de outro lugar".
Nos grupos dinâmicos, a presença de uma velocidade v no grupo significa que o observador está em movimento. A translação temporal e = Dt significa que o observador vê a coisa após um certo atraso. O vetor de translação Dr e o atraso temporal Dt podem ser combinados em um vetor de translação espaço-temporal: (277)
Olhe para as fórmulas; do grupo de Bargmann, vemos que:
m' = m
Qualquer que seja a perspectiva, a massa permanece inalterada.
Simplifiquemos um pouco essa "perspectiva", escolhendo a = 1.
A ação coadunta torna-se: (278)
...A ação coadunta indica a mudança nos parâmetros do movimento. Se considerarmos que passamos de uma situação estacionária para uma não estacionária, as condições iniciais correspondem a:
E = 0 (energia nula)
p = 0 (momento nulo, velocidade nula)
"passage" f = 0
Então, a ação coadunta fornece: (279)
"Considerar" deve ser lido em seu sentido etimológico.
Um oficial de justiça diz: - Elaborar um levantamento e um inventário.
...Uma visão estática (v = 0) das coisas corresponde ao grupo de Euclides. O oficial de justiça observa as coisas à distância c. Ele observa os fatos no momento em que ocorrem (Dt = 0). Eventualmente, ele olha sob um certo ângulo (a diferente de 1).
...Um general, sobrevoando um campo de batalha de avião, é uma espécie de oficial de justiça que observa as coisas a partir de uma perspectiva móvel (a partir de um avião voando à velocidade v). ...Mas um general, em seu quartel-general, olhando um filme filmado por um avião sem piloto, um drone, algumas horas antes, diz: - Considerando o alvo, tal como era uma hora antes (Dt não nulo), visto a partir de um ponto de observação móvel (v não nulo), de uma altitude de cinco mil pés (c não nulo), voando à velocidade v e tirando a foto sob um certo ângulo (a diferente de 1).
...Um alvo não tem velocidade, posição ou orientação definidas, mesmo que seja suposto ser um prédio "fixo". Tudo é relativo. Até a Terra, o Sol, nossa galáxia se movem no espaço.
...O "polo norte" da Terra difere do do Sol em 23°, e evolui ao longo do tempo (26.000 anos), devido à precessão dos equinócios. O norte indicado pelo Sol (seu próprio eixo de rotação) não é o mesmo indicado por nossa galáxia, a Via Láctea, que tem seu próprio movimento de rotação (diferença de 90°). Até uma galáxia se move a trezentos milhas por hora. Em relação a quê? Em relação aos outros. É tudo o que podemos dizer. O grupo corresponde a duas perspectivas diferentes.
...Se eu considerar que o objeto está imóvel, fixo no espaço e no tempo, e não possui movimento de rotação, tudo o que posso dizer é:
- Se me afasto a uma distância c.
- Se observo a coisa enquanto voando à velocidade v.
- Se a informação proveniente dessa coisa chega a mim com um atraso temporal Dt.
Em relação a mim:
---> A massa do objeto não é modificada.
----> Atribuo ao objeto um momento mv, considerado como aparente.
-----> O objeto adquire um "passage" f = m [ c - v Dt ]
-----> Ele adquire um spin (279b)
Escrevamos isso de forma mais explícita: (280)
(281)
(282)
ou: (283)
Pode-se considerar as três componentes independentes da matriz de spin l como as componentes de um vetor: (283b)
...Embora o produto vetorial não tenha sido definido em nosso espaço, ou seja, não atribuímos ao espaço uma orientação direita-esquerda, podemos considerar a expressão final como um produto vetorial. (284)
...O v invertido indica o produto vetorial. Vemos que a última linha das fórmulas que dão a ação coadunta corresponde a: (285)
l é uma matriz, não um vetor. Mas, de acordo com a notação escolhida, as letras em negrito indicam indistintamente uma matriz ou um vetor.
Esse vetor começa a se assemelhar a algo familiar ao físico: o momento cinético.