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Lembre-se das componentes do grupo de Poincaré:
E: energia
p: momento
f: passagem
l: matriz de spin.
Para permanecer próximo ao texto de Souriau, chamemos
-
Ln o elemento da componente neutra Ln do grupo completo de Lorentz L.
-
Ls o elemento daquele que inverte o espaço.
-
Lt o elemento daquele que inverte o tempo.
-
Lst o elemento daquele que inverte simultaneamente o espaço e o tempo.
C sendo o vetor de translação espaço-tempo, obtemos as seguintes componentes do grupo de Poincaré:
gp ( Ln , C) elemento da componente neutra Gpn.
gp ( Ls , C) elemento da componente Gps, que inverte o espaço.
gp ( Lt , C) elemento da componente Gpt, que inverte o tempo.
gp ( Lst , C) elemento da componente Gpst, que inverte os dois.
A ação coadjoinha é: (313)
P é o quadrivetor:
(314)
Temos quatro matrizes características: (315)
com l = ± 1 e m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = -1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = -1)
(316)
(317)
(318)
Estamos interessados em C = 0 (319)
donde l' = l e f' = l m f
e: (320)
gp ( Ln , C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp ( Ls , C): I E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp ( Lt , C): I E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp ( Lst , C): I E → -E; p → -p; f → f; l → l
As inversões não modificam a matriz de spin l.
Pelo contrário, a inversão T e a inversão de energia são sinônimas.
E → -E (poderíamos chamá-lo de uma "simetria E")
O spin s, assim como o módulo do vetor de spin s, é apenas um número, inalterado pela ação de todas as componentes dos grupos, quer sejam ortocronas ou anticronas. ... A energia em repouso de uma partícula é mc². Como vemos, a inversão de massa vai de par com a inversão do tempo. Mas a inversão do espaço não altera nem a energia, nem a massa.
Souriau chama as duas primeiras componentes conexas do grupo completo de Poincaré:
Gpn, Gps
as componentes ortocronas (Gpn é a componente neutra).
E as outras duas: Gpt, Gpst
as componentes anticronas. Isso levanta o problema das massas negativas. Elas existem? Se sim, o que acontece com a colisão entre partículas de massas e energias opostas:
- mc² e - mc²
...Note que isso não corresponde à chamada "aniquilação" de um par partícula-antipartícula. Na colisão dessas últimas, obtém-se energia radiativa, fótons. O resultado da colisão de uma partícula de energia positiva com uma partícula de energia negativa deveria ser muito mais perturbador, pois deveria ser nulo: nada.
...O que é a Natureza, o que são partículas? Nesta abordagem, partimos de um grupo dado: o grupo de Poincaré. Em seguida, construímos a ação desse grupo sobre seu espaço de momentos. Esse espaço de momentos é constituído por pontos. Cada ponto corresponde ao movimento de um dos objetos geométricos que compõem o espaço associado ao grupo.
...Na sequência, mostraremos que o grupo de Poincaré não é capaz de abranger todas as características das partículas.
...A dimensão do grupo de Poincaré é 10.
A dimensão do espaço de momentos é, portanto, também de dez. (321) J = { E, p, f, l }
Se escolhermos um sistema de coordenadas ligado à partícula, f = 0.
Em resumo, as únicas características que emergem naturalmente do grupo de Poincaré, como grandezas geométricas, são:
Para uma partícula de massa nula:
- Sua energia – Seu spin e sua helicidade
Para uma partícula de massa não nula:
- Sua massa em repouso – Seu spin.
As demais características:
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Carga elétrica
-
Carga bariônica
-
Carga leptônica
-
Carga múonica
-
Carga tauônica
-
Fator giromagnético
e o fato de essa partícula poder corresponder ao mundo da matéria ou da antimateria não estão "contidas" no grupo de Poincaré. Enriqueceremos o grupo posteriormente para tratá-las.
Atualmente, o grupo não "constrói" partículas e antipartículas. Mas, se completado por seus dois subconjuntos (as duas componentes ortocronas mais as duas componentes anticronas), ele "constrói" como espécies distintas partículas de energia positiva e energia negativa.
...Se o grupo completo de Poincaré "governa" o universo, então energias positivas e negativas poderiam coexistir, de modo que sua interação produzisse um fenômeno de aniquilação completa. Se o universo estivesse preenchido em 50% por partículas de energia positiva e em 50% por partículas de energia negativa, haveria grande risco de todo o universo se aniquilar por completo, não deixando nada:
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Nenhuma partícula de energia positiva.
-
Nenhuma partícula de energia negativa – Nenhum fóton de energia positiva
-
Nenhum fóton de energia negativa.
Nada. Nada mesmo. Que problema!
...Como sugere Souriau, Deus, em sua sabedoria infinita, teria criado apenas partículas de energia positiva e fótons de energia positiva. Da mesma forma, seus anjos proibiriam o uso das componentes anticronas do grupo de Poincaré, que seriam rigorosamente mantidas presas em algum lugar.
...Pensaremos em outra possibilidade em uma seção posterior.