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O grupo especial de Galileu.
...O leitor encontrará esta extensão no livro de Souriau: Structure of Dynamical Systems, Ed. Birkhäuser, 1997 e, em francês, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod, 1973.
...Um grupo pode ser estendido. Isso significa que o número de parâmetros de que depende aumentará. Calcule o número de parâmetros do qual depende o grupo de Galileu. Partimos da matriz de rotação em 3D:
(322)
Trata-se de uma matriz ortogonal:
(323)
Essas matrizes formam o grupo SO(3), que é um subgrupo do grupo O(3), composto por todas as matrizes ortogonais. Temos:
(324)
Recordemos a diferença com:
(325) (325b)
são as matrizes ortogonais mais gerais, cujos determinantes obedecem a:
(326)
Fim deste parêntese.
O próximo grupo de matrizes quadradas (5,5) será chamado de grupo especial de Galileu:
(327)
A matriz de rotação depende de três parâmetros livres, os ângulos de Euler. Assim, a dimensão do grupo é dez.
Usando as notações:
(328)
obtemos:
(329)
Associado ao vetor espaço-tempo:
(330)
de modo que a ação correspondente do grupo especial de Galileu é:
(331)
...Dado o grupo especial de Galileu, é possível calcular a ação do grupo sobre seu espaço de momentos. Esse cálculo não será apresentado aqui. O leitor poderá encontrá-lo em minhas aulas sobre grupos, disponíveis.
Dêmos o resultado:
(332)
Reconhecemos o momento p e a energia E. O momento é composto por:
(333) JSG = { E , p , f , l }
...Dez quantidades escalares. Dez dimensões para o grupo. Ainda temos o vetor de transição f e a matriz antissimétrica de spin l (composta por três componentes independentes lx, ly, lz, formando o "vetor spin").
A extensão trivial do grupo especial de Galileu.
As matrizes seguintes formam um novo grupo.
(334)
Introduz uma nova componente f, escalar, o "phasis" (ligado ao mundo quântico). A dimensão do grupo passa a ser 10 + 1 = 11.
Este novo grupo age sobre um espaço de cinco dimensões:
(335)
z é uma "dimensão adicional". Foi introduzida pela primeira vez pelo polonês Kaluza, em 1921, depois por J.M. Souriau, em 1964 (Géométrie et relativité, Ed. Hermann, não traduzido para o inglês).
Mais uma vez, pode-se calcular a ação coadjuvante correspondente do grupo sobre seu espaço de momentos. Encontramos o seguinte:
(336)
O momento torna-se:
(337) JTESG = { m , E , p , f , l }
...Temos uma quantidade escalar adicional m e a identificamos à massa. Vemos que o grupo especial de Galileu, atuando sobre o espaço-tempo, traz a energia, mas não a massa, como componente do momento. Atualmente (por extensão trivial), nossa partícula obtém um atributo adicional, identificado à massa, de forma muito arbitrária, e que não interage com as demais componentes do momento.
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.