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Extensão não trivial do grupo especial de Galileu.
O grupo de Bargmann (1960)
As matrizes seguintes (ver meus cursos sobre grupos)
(338)
formam um grupo, descoberto por Bargmann em 1960. Mais uma vez, ele atua sobre um espaço de cinco dimensões. Sua dimensão é 11, devido à presença do escalar f. Trata-se de uma extensão não trivial do grupo especial de Galileu.
(339)
Se calculamos a ação coadunta do grupo sobre seu momento, obtemos:
(340)
...Vemos que essa ação coadunta é mais fina, e que a massa interage com as outras componentes do momento. Já analisamos isso anteriormente e mostramos como isso confere um significado físico às componentes do momento.
...Um momento é um movimento de uma partícula dada. O grupo de Bargmann descreve movimentos não relativísticos. Podemos considerar uma partícula em repouso, sem energia, sem impulso, sem spin. Apenas uma massa não nula:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
Utilizamos o seguinte elemento do grupo de Bargmann:
(341)
As componentes do momento tornam-se:
(342)
...Em um sistema de coordenadas ligado à partícula, a passagem **f **permanece nula. Mostramos que a matriz de spin se identifica ao momento angular.
...Aqui, o que é importante é examinar a extensão trivial do grupo especial de Galileu (por que "especial"? Isso será explicado mais adiante). Ao realizar essa extensão trivial, adiciona-se simplesmente um escalar adicional ao momento.
Vamos agora examinar a extensão do grupo de Poincaré:
Extensão central do grupo de Poincaré. (343)
« ep » significa « grupo de Poincaré estendido ». Lo é o elemento do subgrupo ortocrono Lo do grupo de Lorentz completo L. Assim, podemos considerar o elemento acima como o subgrupo ortocrono Gepo de um grupo de Poincaré estendido completo, cujo elemento é:
(344)
Os dois atuam sobre um espaço de cinco dimensões:
(345) ( t , x , y , z , z ).
Pode-se mostrar que esta extensão não pode suportar termos não nulos na primeira linha, no lugar de 0 = ( 0 0 0 ), entre 1 e f.
...Como demonstrado por J.M. Souriau, o método de quantificação geométrica (método de Kostant-Kirillov-Souriau) permite obter a equação de Schrödinger a partir do grupo de Bargmann e a equação de Klein-Gordon a partir do grupo de Poincaré estendido (Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). Além disso, esta extensão central do grupo adiciona um escalar adicional ao momento (como na extensão trivial do grupo de Bargmann):
(346)
Jep = { c , M , P } = { c , Jp }
Jp representa o momento clássico do grupo de Poincaré. Assim, a ação coadunta do momento torna-se simplesmente:
(347)
O cálculo não é complicado e é semelhante ao apresentado anteriormente. Calculamos a anti-ação:
(348)
Em seguida, a dualidade é expressa pela constância do seguinte escalar:
(349)
...Assim, obtemos um escalar adicional c, que é simplesmente conservado pela ação coadunta. Desde então, esse escalar não havia recebido interpretação física. Vamos esclarecer tudo isso a seguir. Obviamente, podemos estender o grupo quantas vezes desejarmos:
(350)
A cada vez, adicionamos um escalar adicional
(351) Jpe = { c₁ , c₂ , c₃ , ..., M , P } Jpe = { c₁ , c₂ , c₃ , ..., Jp } e a ação coadunta torna-se:
(352)
O leitor dirá: « Bem, por que não adicionar 57 novos escalares? »
Adicionemos simplesmente seis e identifiquemos esses novos escalares com
(353)
c₁ = q (carga elétrica)
c₂ = cB (carga bariônica)
c₃ = cL (carga leptônica)
c₄ = cm (carga muônica)
c₅ = ct (carga tauônica)
c₆ = v (coeficiente giromagnético)
O grupo atua sobre o seguinte espaço de dez dimensões:
(354) ( x , y , z , t , z₁ , z₂ , z₃ , z₄ , z₅ , z₆ )
isto é: espaço-tempo mais seis dimensões adicionais.
(355)
Lembre-se de que este grupo é construído a partir do subgrupo ortocrono
Lo = Ln (componente neutra) ∪ Ls (correspondente à inversão espacial)
do grupo de Lorentz completo L.
O momento torna-se:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp sendo a parte do momento correspondente ao grupo de Poincaré Gop (subgrupo ortocrono).
Qual é o significado físico?
...Um momento pertence a um espaço, que é uma variedade n-dimensional. O grupo de Poincaré possui dez dimensões, portanto o momento do grupo de Poincaré é composto por dez grandezas.
Em seguida, adicionamos seis dimensões extras ao grupo, correspondendo às fases adicionais:
(357)
f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆
O momento torna-se:
(358) Jpe = { J₁, J₂, J₃, J₄, J₅, J₆, J₇, J₈, J₉, J₁₀, J₁₁, J₁₂, J₁₃, J₁₄, J₁₅, J₁₆ }
Decidimos que, entre o conjunto dos escalares
(359) Jp = { J₇, J₈, J₉, J₁₀, J₁₁, J₁₂, J₁₃, J₁₄, J₁₅, J₁₆ }
identificamos a energia E, o momento linear p, a passagem f, a matriz antissimétrica de spin l.
...E e p podem assumir todos os valores possíveis, mas argumentos quânticos impõem a constância do módulo s do vetor de spin (em um sistema de coordenadas ligado à partícula), o que não é justificado aqui e corresponde ao trabalho de Souriau.
Temos seis escalares adicionais:
(360) J₁, J₂, J₃, J₄, J₅, J₆
...Decidimos que, entre um número infinito de escolhas possíveis, algumas escolhas discretas correspondem a partículas reais (e antipartículas). Então, na 16-variedade correspondente ao espaço dos momentos, selecionamos movimentos discretos correspondentes a partículas, com números quânticos definidos
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Por enquanto, a ação coadunta do grupo garante simplesmente a conservação dessas grandezas, ao longo de movimentos dados. Existem "números quânticos passivos", assim como a massa aparece como uma quantidade passiva, quando surge da extensão trivial do grupo especial de Galileu.