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3 - Terceiro axioma da teoria dos grupos:
Qualquer elemento do grupo deve possuir seu inverso, escrito g-1, definido por:
(15)
g
x g-1 = g-1
x g = 1
No nosso exemplo:
(16)
ou seja: b = - a ou:
(17)
g-1
( a ) = g ( - a )
Aqui o cálculo da matriz inversa é trivial.
Qual é a condição para que uma dada matriz quadrada possua seu inverso?
...A qualquer matriz quadrada podemos associar um escalar chamado determinante. Para a definição, ver qualquer livro dedicado ao cálculo linear. Este determinante é codificado: det ( g )
Além disso, temos um teorema geral:
det (g1
x g2)
= det (g1 )
x det (g1 )
O determinante de uma matriz diagonal é:
(18)
Como consequência:
det ( 1 ) = 1
pois 1 é uma matriz diagonal.
Da definição do inverso de uma matriz:
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Então:
(19)
det ( g
x g-1 ) = det (g)
x det (g-1 ) = 1
...Se det (g) = 0 a condição (19) não pode ser satisfeita. Conjuntos de matrizes cujos elementos peculiares possuem determinante nulo não satisfazem o terceiro axioma e não podem formar um grupo.
A propósito:
(20)
4 - Quarto axioma da teoria dos grupos:
A multiplicação deve ser associativa, ou seja: .
(21)
( g1
x g2
) x g3
=g1
x ( g2
x g3 )
A multiplicação de matrizes é basicamente associativa.
Dimensão de um grupo:
...Como veremos, um grupo pode agir sobre um espaço cujos pontos são descritos por vetores-coluna. Por exemplo, pontos do espaço-tempo (chamados "eventos"):
(22)
...Este é um espaço de quatro dimensões. Diferentes grupos podem agir sobre ele. Mas a dimensão de um grupo não tem nada a ver com a dimensão do espaço sobre o qual ele age.
A dimensão de um grupo (de matrizes) é o número
de parâmetros que definem essas matrizes quadradas.
Demos um exemplo de matrizes, definidas por um único parâmetro
a
De modo que a dimensão deste grupo é um.
Observe que:
(22-bis)
Observação:
Nem todos os grupos de matrizes são comutativos, embora o grupo que estudamos possua esta propriedade:
(23)
Se tal grupo age sobre um vetor-coluna, correspondente a um espaço 2d:
(23 bis)
isso corresponde a uma rotação em torno de um ponto fixo, num plano:
(23 ter)
Esta operação é obviamente comutativa.
Você tenderá a dizer: "como todos os grupos de rotações".
...Você está errado. Considere as rotações em torno de eixos que passam por um dado ponto O. Combine duas rotações sucessivas, em torno de eixos diferentes. Isto não é comutativo.
Exercício: mostre que, usando um sistema de eixos ortogonais (OX, OY, OZ), rotações combinadas em torno desses eixos não é uma operação comutativa. Pegue qualquer objeto.
- Faça uma rotação +90° em torno de OX, depois uma rotação +90° em torno de OZ
Volte às condições iniciais e:
- Faça uma rotação +90° em torno de OZ, depois uma rotação +90° em torno de OX
Compare os resultados.
Ação do grupo.
...Um grupo G é composto por matrizes quadradas g. Elas podem ser multiplicadas.
Diremos que um grupo pode agir sobre si mesmo.
O grupo também pode agir sobre um espaço, feito de pontos, descritos por vetores-coluna.
Exemplo:
(24)
Se escrevermos:
(25)
a ação do grupo sobre este espaço torna-se:
(26)
g
x r
...Neste caso peculiar a ação sobre o espaço identifica-se à simples multiplicação de matrizes.
Mas o conceito de ação é muito mais geral.
