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Um parêntese: orientação do espaço-tempo.
... No mundo bidimensional, assimilávamos os objetos geométricos a letras. No mundo tridimensional, eles eram assimilados a "mão direita" e "mão esquerda".
Estruturas quadridimensionais eram assimiladas a hologramas animados.
... O que diabos poderia ser uma estrutura pentadimensional, ou decadimensional? Às vezes invejo Deus, e você?
... Ele deve rir, olhando para nossas miseráveis estruturas quadridimensionais.
... Mas um físico teórico, e mesmo um matemático, não são nada além de estruturas quadridimensionais orientadas. Se não fossem, não poderiam distinguir o passado do futuro, nem a direita da esquerda.
... O universo, como um todo, é uma estrutura quadridimensional. Pensemos nele como um objeto fechado, com topologia localmente esférica. Chamemos t o tempo. Em um dado tempo podemos fazer um corte, que é uma hipersuperfície tridimensional. Se esta última for uma hipersfera S3, o tempo faz sentido. O vetor tempo atravessa esta hipersuperfície e não obtemos nenhuma situação paradoxal.
... Reduzamos o número de dimensões. Imaginemos um mundo bidimensional fechado, algum tipo de espaço-tempo (x,y,t).
... Podemos cortá-lo em t = constante, então obtemos um objeto geométrico cuja dimensão é 3 - 1 = 2: uma superfície bidimensional. Em qualquer ponto, o vetor normal orientado representa a flecha do tempo.
Se este espaço-tempo pode ser orientado no tempo (supomos que é fechado) em um dado tempo, o espaço é uma esfera S2:
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... Mas suponha que a superfície que representa o espaço seja de face única. Tome uma superfície de Boy, por exemplo (que é uma superfície fechada de face única. Veja a seção "Matemática" do site).
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Você pode construir uma apenas colando tiras de Möbius juntas. Mostro uma:
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Você sabe que não se pode definir um vetor normal orientado:
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... A cobertura dupla de uma superfície de Boy é uma esfera S2. Se assimilarmos nosso espaço-tempo tridimensional a um conjunto de esferas S2, dispostas como bonecas russas, cada uma correspondendo a um dado valor de um tempo cósmico t, podemos pensar (com dificuldade) em algum tipo de espaço-tempo onde pontos antípodas poderiam ser unidos. Essa era a estrutura topológica sugerida no artigo:
Jean-Pierre Petit: "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, julho de 1994, pp. 697-710.
... Então sabemos que pontos antípodas, localizados em um "equador" de uma esfera, podem ser dispostos como a cobertura dupla de uma tira de Möbius:
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Vemos como isso conjuga regiões espaciais antípodas com flechas do tempo opostas.
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... A propósito, vemos como isso conjugaria objetos enantiomorfos.
... O espaço é uma hipersuperfície quadridimensional. Se podemos definir um tempo cósmico t, podemos fazer cortes em t = constante e esses cortes são espaços tridimensionais. Se o espaço é fechado, poderíamos assimilá-lo a uma esfera S3, que pode ser moldada como a cobertura dupla de um espaço projetivo P3 (o equivalente de uma superfície de Boy, em 3d). Esta operação colocaria em interação regiões de flechas do tempo opostas.
