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O projeto.
...Nosso ponto de partida será um grupo dinâmico G, ou seja, uma família de matrizes quadradas g.
...Dinâmico: porque o tempo está envolvido.
...Este grupo tem uma certa dimensão n. Ele pode agir sobre um espaço X, que tem sua própria dimensão (que nada tem a ver com a dimensão do grupo, esta última sendo o número de parâmetros independentes que definem cada matriz g do conjunto, formando o grupo G).
...Agora precisamos de uma ação, para definir um espaço sobre o qual o grupo age, seu espaço de momento. Este espaço não é o espaço-tempo no qual se supõe que as partículas viajem. Construir tal espaço nos levará a um país estranho, que parecerá uma terra esquizofrênica. Mas se você seguir este caminho estará mais próximo da realidade física do que nunca esteve antes.
...Quando tivermos um espaço com o qual brincar, e uma ação sobre a qual atuar, classificaremos os momentos-movimentos em espécies e identificaremos tais espécies com partículas elementares.
...Acima dissemos que o produto de um grupo por um vetor, correspondendo a SO(2) e O(2), bem como SO(3) e O(3), correspondia a uma ação:
g x r
isto é:
(166b)
Observe que poderíamos escrevê-lo de forma equivalente:
(167)
Para o grupo de Euclides orientado e o grupo de Euclides completo, precisamos escrever uma ação:
(168)
Mas estas ações, bem como as ações correspondentes dos grupos dinâmicos sobre o espaço, como:
(169)
não dão ... nada. Elas apenas carregam objetos no espaço, ou no espaço-tempo, ou em espaços mais refinados (espaço de 5 dimensões, espaço de dez dimensões).
Temos que buscar algo "escondido sob o grupo": seu espaço de momento (todos os grupos de matrizes possuem um) e sua
ação coadjunta sobre seu espaço de momento.
que corresponde à física real.
O que é física?
...Boa pergunta. O matemático francês Jean-Marie Souriau inventou o conceito de ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de momento e o demonstrou no início dos anos setenta. No que segue, isto será desenvolvido.
...É claro que o físico, ao final do cálculo, perguntará
Por quê?
...Em outros termos, funciona, mas podemos dar um significado físico a este conceito de ação coadjunta de um grupo dinâmico sobre seu espaço de momento. A resposta parece ser não.
...Imagine que você é um aluno de Aristóteles. De repente você tem uma intuição e inventa uma nova palavra para nomeá-la:
inércia.
...Aristóteles chega. Ele foi avisado por outros alunos de que você havia inventado algo novo, e pergunta:
- Você poderia nos explicar o que significa inércia?
Você será incapaz de fazê-lo, usando as palavras de Aristóteles. Você terá encontrado uma mudança paradigmática.
Salte para a Idade Média. Tente explicar uma reação química em termos do vocabulário dos quatro elementos. Impossível também...
A ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de momento é uma mudança paradigmática. É uma nova visão sobre a física.
De fato, os físicos lidam com ações de grupo o tempo todo quando falam de "invariância", "leis de conservação".
Tal físico convencional perguntará:
- Você pode me explicar qual é o significado da ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de momento, em palavras simples, se possível?
Respondemos:
-
Por que você usa leis de conservação, em física?
-
Ah... porque há quantidades conservadas: energia, massa, carga elétrica...
-
Por que elas são conservadas?
-
Mas é um princípio básico! ...
-
Meu caro amigo, considere a ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de momento como um princípio básico.
-
O que você quer dizer?
-
Toda física se baseia em uma estrutura de grupo. Se você identificar o grupo, poderá construir sua ação coadjunta e o espaço de momento correspondente. Então as componentes do momento são as quantidades físicas correspondentes.
-
........
Aviso. Se você é um físico (mesmo um físico teórico...) e se ler o que segue, sofrerá uma mutação paradigmática. Depois, a física será simplesmente... diferente.
Ações.
O que é uma ação?
Algo ligado a um grupo, que obedece aos seguintes axiomas:
(170)
É claro que, para grupos de matrizes, a operação de composição é:
x
(multiplicação matricial linha-coluna)
Para grupos de matrizes podemos escrever:
(171)
Considere o vetor-coluna:
(172)
onde x, por exemplo, representa vetores
(173)
Será que
(174)
satisfaz os axiomas da ação? Sejam g e g' dois elementos do grupo G.
(175)
(175b)
Devemos ter:
(176)
Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
isto é:
(177)
sob a propriedade de associatividade:
(178)
g" = g x g'
é uma ação do grupo.
...Observe que colocamos o elemento g do grupo G à esquerda. O que acontece se o colocarmos à direita? Então ele deve ser combinado a uma matriz-linha y.
(179)
Ag(y) = y x g
É uma ação?
