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Precisamos:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Mas :
O produto de duas matrizes
não é comutativo, em geral. Como conclusão :
(181)
Ag(y)
= y x g
não é uma ação de grupo
: Não satisfaz os axiomas acima. Mas satisfaz outro, correspondente a
uma "anti-ação".
(182)
Para matrizes :
(183
Ainda estamos procurando
ações e anti-ações. A partir do vetor x podemos construir o transposto
e tentar :
(184)
é uma ação
? Vamos lá.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Aqui usamos um teorema do cálculo linear :
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
onde M e N
são matrizes arbitrárias (n,n). Daí :
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
e :
(189)
que é uma ação de
grupo. Considere
agora :
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Mostre que é uma ação.
Consideraremos as três matrizes seguintes.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
Precisamos :
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Forme o primeiro membro
:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
ou :
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
isto é :
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
É uma ação de grupo.
Chamaremos, seguindo Souriau :
Ação adjunta
:
(193)
Agora consideraremos uma anti-ação do grupo sobre uma matriz m.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Mostre que satisfaz :
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Forme o primeiro membro
:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
ou :
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
isto é :
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
ou :
(199)
g" -1
x
m x
g"
