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Precisamos de:
Ações duais.
Construímos, acima,
uma ação:
(200)
uma anti-ação:
(201)
A primeira pode referir-se a
qualquer vetor coluna m:
(202)
m' = g xm
e a segunda a qualquer
vetor linha n:
(203)
n' = n
x g-1
m pertence a um
certo espaço M
n pertence a outro
espaço N.
Forme o escalar:
(204)
S = n m
Observe que:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...Diremos que as duas ações consideradas são duais. Da mesma forma, os dois espaços
M e N, aos quais pertencem m e n, são espaços duais:
N = M* ou M = N*
Normalmente, dizemos que
se m é um vetor, n é o seu co-vetor.
O prefixo co é típico
da dualidade. Como observou Souriau, a dualidade existe na política e
ele acrescenta:
- A dualidade esteve presente
no marxismo-leninismo desde o início. Pense no munista e no
comunista.
Adote outro ponto de vista. Suponha que temos uma ação e queremos construir
a sua dual.
Esquematicamente:
(206)
...Para
formar um produto escalar com o vetor coluna m, n
deve ser um vetor linha. Então esses dois vetores devem ser definidos pelo mesmo
número de escalares:
(207)
então buscamos a ação
dual:
(208)
n' = Ag(n)
de modo que o produto escalar:
(209)
seja invariante. Devemos
ter:
(210)
n' m'
= n m
Temos:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
cuja solução
é:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
Rumo à construção da
ação essencial, ou ação coadjunta de um grupo sobre o seu momento (segundo
Souriau).
Buscamos uma ação do
grupo sobre o seu "espaço de momento". Vamos construí-la como a dual de
uma anti-ação:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...Na
seção anterior m era um vetor. Mas em (214) é uma matriz.
Tomaremos uma matriz, que depende de um certo número de parâmetros:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
Devemos imaginar um conjunto
dual de escalares:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
de modo que:
(215)
Esquematicamente:
(216)
