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Escolha da matriz
m .
...Um
grupo G pode ser comparado a uma certa superfície. Ele depende de um certo número
de parâmetros. Seja P este espaço dos parâmetros do grupo e
p um ponto deste espaço. O número destes parâmetros pi
é a dimensão do grupo.
(217)
Mostrado : o elemento neutro e ( a matriz unidade 1 ).
Podemos dar um
incremento d p
:
(218)
...Então
diferenciamos a matriz g que é o elemento do grupo. Obtemos uma matriz quadrada dg que
não pertence ao grupo. Chama-se a isso o "vetor tangente ao grupo". Estes
vetores tangentes formam o que se chama a "Álgebra de Lie" do grupo ( que
não é uma álgebra, aliás ).
Escolhemos diferenciar
na vizinhança do elemento neutro :
(219)
e escolhemos a seguinte
anti-ação :
(220)
AAg(m)
= g-1 x
dg(g=e) x
g
Observação :
Por que escolhemos o vetor tangente ao grupo em g = 1 ?
...Poderíamos
usar um vetor tangente mais geral dg em qualquer ponto do grupo. Obteríamos o mesmo resultado, mas o cálculo
seria muito mais tedioso.
A dimensão do
grupo é n. A matriz g depende de n parâmetros{ pi
}..
O elemento da Álgebra
de Lie dg(g=e) depende do
mesmo número de parâmetros {d pi
}.
O cálculo da
anti-ação acima fornecerá a aplicação :
(221)
{ d
pi
} -----> { d pp'i
}
Introduzimos o mesmo
número de escalares :
{ J i }
Chamamos este conjunto de
momento J do grupo.
J = { J i
}
É um conjunto de n grandezas,
n escalares. Às vezes podemos colocá-lo em uma matriz ( ação de Poincaré
sobre seu momento ).
{ J i } é
o vetor cotangente { d p
i } ao vetor tangente do grupo. A dualidade dá :
(222)
A partir desta conservação do produto escalar, se conhecemos a aplicação :
(223)
{ d
p
i } -----> { d p'
i }
podemos construir a aplicação
dual :
(224)
{ J i } ----->
{ J 'i }
Esta é a ação essencial
que procuramos, e Souriau a chama de ação coadjunta do grupo sobre seu
espaço de momento.
A melhor maneira de ilustrar
este conceito é dar um exemplo :
Ação coadjunta do
grupo de Poincaré sobre seu espaço de momento Jp .
Acima, apresentamos o
grupo de Lorentz generalizado. Escolhendo :
(225)
obtemos o grupo de Lorentz
L cujo elemento L obedece à definição axiomática :
(226)
O vetor espaço-tempo é
(227)
Com c = 1 obtemos a
forma quadrática elementar, a métrica de Minkowski :
(228)
A matriz inversa é
(229)
Introduza agora uma translação
espaço-tempo :
(230)
construímos o elemento
gp do grupo de Poincaré Gp da seguinte forma
:
(231)
Exercício : mostre que forma um grupo e calcule a matriz inversa :
(232)
O elemento da Álgebra
de Lie é
(233)
e a anti-ação :
(234)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
Notamos que
(235)
G d
L
é uma matriz
antissimétrica. Chamemo-la :
(236)
donde :
(237)
Seja :
(238)
a partir disso, podemos construir a anti-ação :
(239)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
que nos dará a
aplicação :
(240)
(240b)
(240c)
é a aplicação requerida
:
(241)
