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...Um elemento gp do grupo de Poincaré Gp é definido por um conjunto de parâmetros {pi}, cujo número é, por definição, a dimensão do grupo. A matriz dg (g=e) é construída a partir do conjunto {dpi}. De modo que o mapeamento precedente corresponde à anti-ação:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Para introduzir a dualidade e construir o mapeamento dual, assumimos a constância do escalar:
(243)
A dimensão do grupo de Poincaré é 10, donde temos dez escalares { Ji }, componentes do momento Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Decidimos dividir isto em dois objetos:
(244)
Jp= { M , P }
O primeiro, M, é uma matriz antissimétrica (4,4).
P é o quadrivetor (4,1)
(245)
Então:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Escreva o produto escalar como:
(247)
Tr significa traço. A constância do produto escalar dá
(248)
com:
(249)
(249b)
(249c)
mas GG = 1. Então:
(250)
(250b)
(251)
isto é:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Esta ação coadjunta pode ser posta numa forma matricial:
O elemento do grupo de Poincaré é:
(254)
Sua transposta é:
(255)
Considere a matriz:
(256)
escreva:
(257)
(258)
(259)
que será identificada à matriz:
(260)
Então Jp é o momento do grupo de Poincaré, posto em forma matricial, e a ação coadjunta é:
(261)
Exercício: verifique que isto é uma ação.
A matriz-momento corresponde a:
(262)
A diagonal de uma matriz antissimétrica M é feita de zeros.
(263)
Ela depende de seis parâmetros.
(264)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Escrevamos a matriz:
(265)
As três últimas componentes ( fx , fy , fz) formam o que Souriau chama de vetor de passagem f:
(266)
As primeiras ( lx , ly , lz) são as componentes independentes de uma matriz antissimétrica (3,3), que Souriau chama de matriz de spin.
(267)
donde:
(268)
O vetor P é o quadrivetor impulsão-energia:
(269)
Então o momento do grupo de Poincaré pode ser explicitado em sua forma mais geral:
(270)
Ele possui dez componentes:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
