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Partículas com spin.
...O grupo de Poincaré descreve o movimento relativístico de um objeto pontual. De forma semelhante, o grupo de Bargmann descreve o movimento não relativístico. As componentes do momento surgem como quantidades puramente geométricas. É uma geometrização da física.
Os físicos estão familiarizados com a energia E e o vetor de impulsão p. Mas podem ficar um pouco intrigados com os outros dois objetos: a passagem f e o vetor de spin l. A forma das componentes do momento depende da escolha de coordenadas.
...Cada grupo dinâmico possui seu próprio espaço de momento e ação coadjunta sobre esse espaço de momento. Se, em vez de escolher primeiro o mundo relativista (grupo de Poincaré), tivéssemos escolhido o mundo não relativístico, teríamos de nos referir ao grupo de Bargmann. Para detalhes computacionais, veja minhas lições sobre grupos.
O grupo de Bargmann é uma extensão não trivial do grupo de Galileu:
(272)
Como o leitor pode ver, este grupo atua sobre um espaço pentadimensional:
r : espaço
t : tempo
z : uma variável adicional.
...Estas questões de variável adicional ou variáveis adicionais serão tratadas mais adiante. Neste site, o cálculo completo da ação coadjunta do grupo de Poincaré foi dado acima. Poder-se-ia também derivar o cálculo da ação coadjunta do grupo de Bargmann sobre seu momento. Paradoxalmente, o cálculo no mundo não relativístico é um tanto mais complicado do que o no mundo relativístico.
O resultado é o seguinte:
(273)
O físico identifica alguns objetos familiares, como a velocidade:
(274)
e a energia cinética:
(275)
m v é a impulsão.
Velocidade em relação a quê?
Um grupo muda os parâmetros do movimento, dá a uma partícula uma velocidade v e uma energia cinética E.
Podemos escolher a interpretação oposta, e considerar que um grupo é um ponto de vista peculiar sobre algo, sobre uma partícula.
Se considerarmos o grupo SO(3), as matrizes a, isso significa "visto sob outro ângulo de vista".
Se considerarmos o grupo O(3), matrizes a, acrescenta-se a possibilidade de observar a "coisa" através de um espelho.
O vetor de translação
(276)
do grupo de Euclides acrescenta "visto de outro lugar".
Nos grupos dinâmicos, a presença de uma velocidade v no grupo significa que o observador se move.
A translação temporal e = Dt significa que o observador vê a coisa após algum atraso.
O vetor de translação Dr e o atraso temporal Dt podem ser reunidos num vetor de translação espaço-temporal:
(277)
Olhando as fórmulas, do grupo de Bargmann, vemos que:
m' = m
Qualquer que seja o ponto de vista, a massa permanece inalterada.
Simplifiquemos um pouco este "ponto de vista", escolhendo a = 1.
A ação coadjunta torna-se:
(278)
...A ação coadjunta indica a mudança nos parâmetros do movimento. Se considerarmos que passamos de uma situação estacionária para uma situação não estacionária, as condições iniciais correspondem a:
E = 0 ( energia zero )
p = 0 ( impulsão zero, velocidade zero )
"passagem" f = 0
Então a ação coadjunta dá:
(279)
"Considerar" deve ser lido em seu sentido etimológico.
Um oficial de justiça diz:
- Lavrando um auto com inventário.
...Uma visão estática (v = 0) das coisas corresponde ao grupo de Euclides. O oficial de justiça observa as coisas à distância c. Ele observa os fatos no momento em que acontecem (Dt = 0). Eventualmente ele olha sob um certo ângulo (a diferente de 1).
...Um general, sobrevoando um campo de batalha, num avião, é uma espécie de oficial de justiça, que observa as coisas de um ponto de vista em movimento (de um avião voando à velocidade v).
...Mas um general, em seu quartel-general, olhando um filme tirado por um avião não tripulado, um drone, algumas horas antes, diz:
- Considerando o alvo, como estava uma hora antes (Dt não nulo), visto de um ponto de observação em movimento (v não nulo), de uma altitude de cinco mil pés (c não nulo), voando à velocidade v e tirando fotos sob um certo ângulo (a sendo diferente de 1).
...Um alvo não tem velocidade, posição ou orientação definidas, mesmo que se suponha ser um edifício "fixo". Tudo é relativo. Mesmo a Terra, o Sol, nossa galáxia se movem pelo espaço.
...O "polo norte" da Terra é diferente do "polo norte do Sol", em 23°, e muda no tempo (26.000 anos), devido à precessão dos equinócios. O norte indicado pelo sol (seu próprio eixo de rotação) não é o norte indicado por nossa galáxia, a via láctea, que tem seu próprio movimento de rotação (separação de 90°). Mesmo uma galáxia se move, a trezentas milhas por hora. Em relação a quê? Às outras. É tudo o que podemos dizer.
O grupo corresponde a dois pontos de vista diferentes.
...Se considero que o objeto é estacionário, fixo no espaço e no tempo, e não possui movimento de rotação, tudo o que posso dizer é:
- Se me afasto à distância c.
- Se observo a coisa, quando voando à velocidade v.
- Se a informação, vinda desta coisa, me alcança com um atraso temporal Dt.
Em relação a mim:
---> A massa do objeto não é modificada.
----> Dou ao objeto uma impulsão mv, considerada como aparente.
-----> O objeto ganha uma "passagem" f = m [ c - v Dt ]
----> Ele ganha um spin
(279b)
Escreva-o de forma mais explícita:
(280)
(281)
(282)
ou:
(283)
Pode-se considerar as três componentes independentes da matriz de spin l como as componentes de um vetor:
(283b)
...Embora o produto vetorial não tenha sido definido em nosso espaço, isto é: não demos ao espaço uma orientação direita-esquerda, podemos considerar a última expressão como um produto vetorial.
(284)
...O v invertido indica o produto vetorial. Vemos que a última linha das fórmulas que dão a ação coadjunta corresponde a:
(285)
l é uma matriz, não um vetor. Mas, de acordo com a notação escolhida, letras em negrito indicam indiferentemente uma matriz ou um vetor.
Este vetor começa a parecer algo familiar ao físico: o momento cinético.
