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Recordar as componentes do grupo de Poincaré:
E : energia
p : impulso
f : passagem
l : matriz de spin.
Para nos aproximarmos do texto de Souriau, chamemos
-
Ln o elemento da componente neutra Ln do grupo de Lorentz completo L.
-
Ls o elemento daquela que inverte o espaço.
-
Lt o elemento daquela que inverte o tempo.
-
Lst o elemento daquela que inverte tanto o espaço quanto o tempo.
Sendo C o vetor de translação do espaço-tempo, obtemos as seguintes componentes do grupo de Poincaré:
gp ( Ln , C) elemento da componente neutra Gpn.
gp ( Ls , C) elemento da componente Gps, que inverte o espaço.
gp ( Lt , C) elemento da Gpt, que inverte o tempo.
gp ( Lst , C) elemento da Gpst, que inverte os dois.
A ação coadjunta é:
(313)
P é o quadrivetor:
(314)
Temos quatro matrizes características:
(315)
com l = ± 1 e m = ± 1 .
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
Estamos interessados em C = 0
(319)
donde l' = l
e f' = l m f
e:
(320)
gp ( Ln , C) : I E --> E ; p --> p ; f ---> f ; l ----> l
gp ( Ls , C) : I E --> E ; p --> - p ; f ---> - f ; l ----> l
gp ( Lt , C) : I E --> - E ; p --> p ; f ---> - f ; l ----> l
gp ( Lst , C) : I E --> - E ; p --> - p ; f ---> f ; l ----> l
As inversões não modificam a matriz de spin l .
Inversamente, a inversão-T e a inversão de energia são sinônimas
E ---> -E
( poderíamos chamá-la de "E-simetria" )
O spin s, como módulo do vetor de spin s, é apenas um número, inalterado pela ação de todas as componentes dos grupos, quaisquer que sejam, ortocronas ou anticronas. .
...A energia de repouso de uma partícula é mc2.
Como vemos, a inversão de massa acompanha a inversão de tempo. Mas a inversão espacial não muda a energia, nem a massa.
Souriau chama as duas primeiras componentes conexas do grupo de Poincaré completo:
Gpn , Gps
as componentes ortocronas ( Gpn é a componente neutra ).
E as duas outras:
Gpt , Gpst
as componentes anticronas.
Surge o problema das massas negativas. Elas existem? Se sim, o que dizer da colisão entre partículas com massas e energias opostas:
- mc2 e - mc2
...Observe que isso não corresponde à chamada "aniquilação" de um par partícula-antipartícula. Da colisão destas últimas obtemos energia radiativa, fótons.
O resultado da colisão de uma partícula de energia positiva e uma de energia negativa deveria ser muito mais intrigante, pois deveria ser zero: nada.
...O que é a Natureza, o que são as partículas? Nesta abordagem partimos de um grupo dado: o grupo de Poincaré. Em seguida construímos a ação desse grupo sobre seu espaço de momentos. Esse espaço de momentos é feito de pontos. Cada ponto é um movimento de um dos objetos geométricos que compõem o espaço associado ao grupo.
...A seguir mostraremos que o grupo de Poincaré é incapaz de tomar a seu cargo todas as características das partículas.
...A dimensão do grupo de Poincaré é 10.
Então a dimensão do momento também é dez.
(321)
J = { E , p , f , l }
Se escolhermos um sistema de coordenadas ligado à partícula f = 0 .
Em suma, as únicas características que surgem naturalmente do grupo de Poincaré, como quantidades geométricas, são:
Para uma partícula de massa zero:
- Sua Energia
- Seu spin e helicidade
Para partícula de massa não nula:
- Sua massa de repouso
- Seu spin.
As outras características:
-
Carga elétrica
-
Carga bariônica
-
Carga leptônica
-
Carga muônica
-
Carga tauônica
-
Fator giromagnético
e o fato de essa partícula poder corresponder ao mundo da matéria ou da antimatéria não estão "contidos" no grupo de Poincaré. Enriqueceremos ainda mais o grupo para tratar disso.
No momento atual o grupo não "constrói" partículas e antipartículas. Mas, se completado por seus dois subconjuntos ( as duas componentes ortocronas mais as duas componentes anticronas ) ele "constrói" como espécies distintas, partículas de energia positiva e negativa.
...Se o grupo de Poincaré completo "rege" o universo, então energias positiva e negativa podem coabitar, de modo que se encontrem e deem um fenômeno de aniquilação total.
Se o universo fosse preenchido por 50 % de partículas de energia positiva e 50 de partículas de energia negativa haveria um grande risco de que todo o universo se auto-aniquilasse de modo que nada restasse:
-
Nenhuma partícula de energia positiva.
-
Nenhuma partícula de energia negativa
-
Nenhum fóton de energia positiva
-
Nenhum fóton de energia negativa.
Nada. Absolutamente nada. Que chatice!
...Como sugerido por Souriau, Deus, em sua infinita sabedoria, teria criado apenas partículas de energia positiva e fótons de energia positiva. Da mesma forma, seus anjos proibiriam o uso das componentes anticronas do grupo de Poincaré, que ficariam severamente presas em algum lugar.
...Pensaremos em outra possibilidade numa seção futura.
