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O grupo especial de Galileo.
...O leitor encontrará esta extensão no livro de Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 e, em francês, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Um grupo pode ser estendido. Isso significa que o número de parâmetros dos quais ele depende será aumentado. Calcule o número de parâmetros dos quais o grupo de Galileo depende. Partimos da matriz de rotação 3D:
(322)
É uma matriz ortogonal:
(323)
essas matrizes formam o grupo SO(3), que é um subgrupo do grupo O(3) composto por todas as matrizes ortogonais. Temos:
(324)
Lembre-se da diferença com:
(325)
(325b)
são as matrizes ortogonais mais gerais, cujos determinantes obedecem:
(326)
Fim deste parêntese.
O próximo grupo de matrizes quadradas (5,5) será chamado de grupo especial de Galileo:
(327)
A matriz de rotação depende de três parâmetros livres, os ângulos de Euler. Assim, a dimensão do grupo é dez.
Usando as notações:
(328)
obtemos:
(329)
Associado ao vetor espaço-tempo:
(330)
de modo que a ação correspondente do grupo especial de Galileo é:
(331)
...Dado o grupo especial de Galileo, é possível calcular a ação do grupo sobre seu espaço de momento. O cálculo não será dado aqui. O leitor pode encontrá-lo em minhas aulas sobre grupos, disponíveis.
Vamos dar o resultado:
(332)
Reconhecemos o momento p e a energia E. O momento é composto por:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...Dez quantidades escalares. Dez dimensões para o grupo. Ainda temos o vetor de passagem f e a matriz antissimétrica de spin l (composta por três componentes independentes lx , ly , lz , formando o "vetor de spin" ).
A extensão trivial do grupo especial de Galileo.
As próximas matrizes formam um novo grupo.
(334)
Ela introduz uma nova componente f, um escalar, a "fase" (ligada ao mundo quântico). A dimensão do grupo torna-se
10 + 1 = 11
Este novo grupo atua sobre um espaço pentadimensional:
(335)
z é uma "dimensão adicional". Foi introduzida pela primeira vez pelo polonês Kaluza, em 1921, depois por J.M.Souriau, em 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, não traduzido para o inglês).
Aqui também se pode calcular a ação coadjunta correspondente do grupo sobre seu espaço de momento. Encontramos isto:
(336)
O momento torna-se:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...Temos mais um escalar m e o identificamos com a massa. Vemos que o grupo especial de Galileo, atuando sobre o espaço-tempo, traz a energia, mas não a massa, como componente do momento. No momento atual (por meio da extensão trivial) nossa partícula recebe um atributo adicional, que é identificado com a massa, de forma muito arbitrária, e que não interage com as outras componentes do momento.
