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Extensão não trivial
do grupo especial de Galileu.
O grupo de Bargmann ( 1960 )
As seguintes matrizes
( ver as minhas lições sobre grupos )
(338)
formam um grupo, descoberto por Bargmann em 1960. Aqui, mais uma vez, ele atua sobre um espaço
pentadimensional. A sua dimensão é 11, devido à presença do escalar f . Trata-se de uma extensão
não trivial do grupo especial de Galileu.
(339)
Se se calcular a ação coadjunta
do grupo sobre o seu momento, obtém-se :
(340)
...Vemos
que esta ação coadjunta é mais refinada e que a massa interage
com as outras componentes do momento. Analisámos isso acima e mostrámos
como isso traz o significado físico das componentes do momento.
...Um
momento é um movimento de uma dada partícula. O grupo de Bargmann descreve
movimentos não relativistas. Podemos considerar uma partícula em repouso, sem energia,
sem impulso, sem spin. Apenas uma massa não nula :
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
Usamos o seguinte
elemento do grupo de Bargmann :
(341)
As componentes do momento tornam-se :
(342)
...Num
sistema de coordenadas ligado à partícula, a passagem f continua
a ser zero. Mostrámos que a matriz de spin se identifica com o momento cinético.
...Aqui,
o que é importante é olhar para a extensão trivial do grupo especial de Galileu (porquê "especial" ? Isto será explicado mais adiante). Quando
se realiza esta extensão trivial, ela apenas traz um escalar adicional ao
momento.
Vamos estender o
grupo de Poincaré :
Extensão central
do grupo de Poincaré.
(343)
"ep" significa "grupo de Poincaré estendido". Lo é o
elemento do subgrupo ortocrono Lo do grupo de Lorentz completo
L. De modo que podemos considerar o elemento acima como o subgrupo ortocrono
Gepo de um grupo de Poincaré estendido completo, cujo elemento é :
(344)
Os dois atuam sobre o espaço
pentadimensional :
(345)
( t , x , y , z , z
).
Pode mostrar-se que esta
extensão não suporta termos não nulos na primeira linha, em vez disso 0
= ( 0 0 0) , entre 1 e f .
...Como
mostrou J.M.Souriau, o método de quantificação geométrica (método de Kostant-Kirilov-Souriau)
faz surgir a equação de Schrödinger a partir do grupo de Bargmann e
a equação de Klein Gordon a partir do grupo de Poincaré estendido ( Structure
des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972 ). Além disso, esta extensão
central do grupo acrescenta um escalar extra ao momento (como na extensão
trivial do grupo de Bargmann) :
(346)
Jep=
{ c , M , P } = { c , Jp }
Jp representa
o momento clássico de Poincaré. Então a ação coadjunta do
momento torna-se simplesmente :
(347)
O cálculo não é
complicado e é semelhante ao apresentado acima. Calcula-se a anti-ação
:
(348)
Então a dualidade é expressa
através da constância do seguinte escalar :
(349)
...De
modo que obtemos um escalar adicional c , que é simplesmente conservado através da ação
coadjunta. Visto que até agora este escalar não recebeu nenhuma interpretação física. Vamos
esclarecer tudo isso no que se segue. Obviamente
podemos estender o grupo tantas vezes quantas quisermos :
(350)
Cada vez, acrescenta um
escalar adicional
(351)
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
e a ação coadjunta
torna-se :
(352)
O leitor dirá "bem,
porque não acrescentamos 57 novos escalares ? "
Basta acrescentar seis e identificar
estes novos escalares com
(353)
c 1 = q (carga
elétrica)
c 2 = cB (carga
bariónica)
c 3 = cL (carga
leptónica)
c 4 = cm (carga
muónica)
c 5 = ct (carga
tauónica)
c 6 = v (coeficiente
giromagnético)
O grupo atua sobre o seguinte espaço decadimensional :
(354)
( x , y , z , t , z
1 , z 2 , z3 , z 4
, z 5 , z6 )
ou seja : espaço-tempo mais
seis dimensões adicionais.
(355)
Recorde-se que este grupo
é construído com o subgrupo ortocrono
Lo = Ln(componente neutra) U Ls (realizando a inversão espacial)
do grupo de Lorentz completo
L.
O momento torna-se
:
(356)
Jpe
= { q , cB , cL , cm , ct ,
v , Jp }
Jp
sendo a parte do momento correspondente ao grupo de Poincaré
Gop (subgrupo ortocrono).
Qual é o significado
físico ?
...Um
momento pertence a um espaço, que é uma variedade n. O grupo de Poincaré
possui dez dimensões, de modo que o momento do grupo de Poincaré é
composto por dez quantidades.
Depois
acrescentamos seis dimensões ao grupo, correspondentes às fases adicionais
:
(357)
f1 ,f2
,f3 ,f3 ,f5 ,f5
O momento torna-se
:
(358)
Jpe
= { J1, J2 J3, J4, J5,
J6, J7, J8, J9, J10,
J11, J12, J13, J14, J15,
J16 }
Decidimos que, entre o
conjunto de escalares
(359)
Jp
= { J7, J8, J9, J10, J11,
J12, J13, J14, J15, J16
}
identificamos a energia
E, o momento p, a passagem f , a matriz antissimétrica de spin
l .
...E
e p podem tomar todos os valores possíveis, mas argumentos quânticos impõem a
constância do módulo s do vetor de spin (num sistema de coordenadas
ligado à partícula), o que não é justificado aqui e corresponde ao trabalho de Souriau.
Temos mais seis escalares
:
(360)
J1, J2
J3, J4, J5, J6
...Decidimos
que, entre uma infinidade de escolhas possíveis, algumas escolhas discretas
correspondem a partículas reais (e antipartículas). Então, na variedade 16
correspondente ao espaço de momentos, selecionamos movimentos discretos correspondentes
a partículas, com números quânticos definidos
(361)
{ q , cB ,
cL , cm , ct , v }
...Para
já, a ação coadjunta do grupo apenas garante a conservação
destas quantidades, ao longo de movimentos dados. Há "números quânticos passivos"
tal como a massa apareceu como uma quantidade passiva, quando surgiu da
extensão trivial do grupo especial de Galileu.
