grupos e ação coadjunta de momento da física
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3 - Terceiro axioma dos grupos: Todo elemento deve possuir um inverso, denotado g⁻¹, definido por:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
No nosso exemplo, isso se escreve como:
ou seja, b = -a ou:
g⁻¹(a) = g(-a)
...Aqui, o cálculo da matriz inversa se impunha como uma evidência. Mas nem sempre é assim, longe disso. O que é necessário para que toda matriz do conjunto considerado possua um inverso, ou seja, seja inversível? É necessário e suficiente que seu determinante seja não nulo (e remetemos o leitor ao seu curso de álgebra linear). Um teorema afirma que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. A própria definição do determinante faz com que o determinante de uma matriz diagonal seja igual ao produto dos termos que a compõem. Por exemplo:
Consequências: o determinante de todas as matrizes unidade 1 vale 1. Logo:
det(g) vezes det(g⁻¹) é igual à unidade ¹ 0
consequência: uma matriz com determinante nulo não pode possuir inverso, o que contradiz sua definição. Além disso:
4 - Quarto axioma dos grupos: A operação de composição deve ser associativa:
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Isso sempre ocorre....
Dimensão de um grupo:
...Uma pequena digressão sobre a dimensão de um grupo (de matrizes), que não tem nada a ver com o posto das matrizes que o compõem ou com o número de quantidades que constituem "o espaço sobre o qual esse grupo age" (por exemplo, o espaço (x,y) de duas dimensões ou o espaço-tempo (x,y) de quatro dimensões).
...Temos aqui um exemplo de uma família de matrizes quadradas com um único parâmetro a, que, por acaso, forma um grupo. Mais adiante encontraremos grupos compostos por matrizes quadradas definidas por n parâmetros: seis, dez, dezesseis, qualquer número.
O número de parâmetros usados para definir as matrizes quadradas do grupo será chamado de dimensão do grupo.
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Estamos diante de um grupo constituído por uma família de matrizes com um parâmetro a. A dimensão desse grupo é 1.
Observemos, de passagem, que:
Observação:
...Grupos, e especialmente os grupos que nos interessam aqui, não são automaticamente comutativos. Na verdade, é a exceção. Ocorre que nosso grupo-exemplo é comutativo:
...Reconheceremos neste grupo as matrizes de rotação 2D, em torno de um eixo fixo. No "concreto", essa operação é "obviamente comutativa". Girar em torno de um eixo:
- Primeiro de um ângulo a, depois de um ângulo b
ou:
- Primeiro de um ângulo b, depois de um ângulo a
leva ao mesmo resultado.
Você dirá: "normal. Os grupos de rotação são essencialmente comutativos".
...Falso. É uma propriedade do 2D. No 3D, isso não funciona mais. Considere um grupo particular, formado pelo conjunto de rotações em torno de três eixos ortogonais (OX, OY, OZ).
Exercício: você mostrará, pegando um objeto e submetendo-o a:
-
Primeiro uma rotação de +90° em torno de OX
-
Depois uma rotação de +90° em torno de OZ
e, em seguida, as mesmas rotações, mas na ordem inversa, que você não chegará ao mesmo resultado. Essa operação não é comutativa.
Ação de um grupo.
...Um grupo G é constituído por um conjunto de matrizes quadradas. Já podemos considerar que ele age sobre si mesmo (ver mais adiante os axiomas que definem uma ação de grupo, conceito essencial).
...Nosso grupo-exemplo também pode agir sobre os pontos de um "espaço 2D". Dizemos que ele os faz girar. Um grupo é feito para transportar, mas o que exatamente é transportado?
...Bem, justamente, isso não é o que importa. Citando sua obra "Gramática da Natureza", diremos com J.M. Souriau que:
A maneira de transportar vale mais do que aquilo que é transportado.
No caso do nosso grupo-exemplo, as matrizes atuam sobre um espaço 2D (x,y), e poderemos escrever a ação correspondente
Se definirmos (matriz-coluna):
então a ação se escreve simplesmente:
g × r
...Neste caso particular, a ação do nosso grupo sobre o espaço (x,y) se identifica com a multiplicação matricial. Mas queremos mostrar que se trata apenas de uma ação particular e que o conceito de ação, fundamental na física, é muito mais geral.