grupos e ação coadjointa do momento da física
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Grupo das translações:
...Consideremos o espaço 2D (x,y). Neste espaço, uma translação corresponde ao par de escalares (Dx, Dy) e costuma-se escrever
x' = x + Dx
y' = y + Dy
Utiliza-se então a adição. Seria possível encontrar uma maneira de codificar a translação com uma ... multiplicação?
Consideremos as matrizes:
e a ação do grupo:
Observa-se que já não se trata da simples multiplicação matricial
g x r
mas da ação do grupo:
Pode-se, de passagem, considerar translações em três, quatro dimensões e mais:
A ação do grupo correspondente é então:
...Adicionalmente, o grupo das translações é comutativo e o elemento neutro é "a translação nula". Em 3D, a dimensão do grupo é três; em 4D, é quatro.
Interesse dos grupos matriciais. Exemplo: o grupo de Euclides.
...O interesse de um grupo matricial é que podemos tratar simultaneamente várias coisas que até então pareciam de naturezas diferentes, por exemplo rotação e translação. Basta então considerar as matrizes:
e fazer agir a matriz elemento do grupo sobre o vetor coluna para constatar que isso equivale à combinação de uma rotação de ângulo a e uma translação segundo o vetor (Dx, Dy).
...Como se vê, a matriz g não age "diretamente" sobre os pontos (x,y) deste espaço 2D, mas por meio do que chamamos uma "ação do grupo", que obedece a certos axiomas.
...Assim, um grupo "age" e "transporta", no caso, pontos. Trata-se do grupo de Euclides. Ligado a um espaço 2D (x,y), este grupo é definido por três parâmetros. É g (a, Dx, Dy): a dimensão deste grupo é 3. Em particular:
g (0, Dx, Dy) representa o subgrupo das translações.
g (a, 0, 0) representa o subgrupo das rotações em torno da origem.
g (0, Dx, 0) representa o subgrupo das translações paralelamente a uma reta (o eixo OX).
...O grupo de Euclides transporta pontos que, por si só, não possuem atributos (enquanto os grupos da dinâmica atribuem a um simples "ponto material" atributos chamados massa, energia, momento, spin).
...Com o grupo de Euclides, é obrigatório considerar conjuntos de pontos. Como se, na química, os átomos não fossem distinguíveis uns dos outros e apenas a geometria dos agrupamentos moleculares carregasse informação.
...Uma figura geométrica, triângulo (considerado como um conjunto de três pontos ou três segmentos), quadrado (considerado como um conjunto de quatro pontos ou quatro segmentos), pode ser transportada pelo grupo. É aí que surge a ideia fundamental de espécie. Dois "objetos" serão ditos da mesma espécie se existir um elemento do grupo que permita levar um sobre o outro.
Diante do grupo de Euclides, quadrados com o mesmo lado a formam uma espécie:
Quadrados da mesma espécie.
...Se os lados a e b forem diferentes, esses objetos não são da mesma espécie. Não existe elemento do grupo que permita passar de um para o outro. Diante do grupo de Euclides
esses quadrados não formam a mesma espécie.
Euclides não permite homotetias. Para poder lidar com isso, seria necessário passar a outro grupo, o de Descartes:
grupo com quatro parâmetros g (l, a, Dx, Dy), onde l é um coeficiente de homotetia. Assim, a dimensão deste grupo é 4.
A partir daí, imagina-se facilmente que possa existir um grupo de Euclides atuando sobre objetos em três dimensões.
...Não se trata de mergulhar em um curso completo sobre grupos, mas de perceber algumas ideias. O que é a zoologia? Uma ciência que consiste em estudar animais e classificá-los. Se nos limitarmos à forma, o grupo de Euclides permite classificar coelhos adultos. Será necessário recorrer ao grupo de Descartes para poder classificar em uma mesma espécie coelhos de tamanhos diferentes, já que não existe elemento do grupo de Euclides (3D) que permita passar de um coelho pequeno a um grande.
...Você está sorrindo? Você está enganado. Talvez, em seu apartamento ou casa, tenha algum bebê em fase de aprendizado, brincando em um canto. Você lhe deu um brinquedo clássico e ele se esforça para encaixar dentro de uma espécie de caixa de formas: cilindros, cubos ou prismas com base triangular.
...O que ele está fazendo? Está se familiarizando com o grupo de Euclides, em 3D. Está classificando objetos por espécies, o que lhe permitirá, posteriormente, reconhecê-los, fazer "reconhecimento de forma".
...Apesar de serem de cores diferentes, o bebê verifica que existem ações do grupo (transportes desses objetos no espaço 3D) que permitem levar o cilindro A e o cilindro B à coincidência, usando o crivo que é a "forma oca" desse cilindro ou desse prisma: a passagem de entrada para o compartimento de sua caixa de classificação. Assim, ele aprenderá que esses cilindros A e B, diante do critério forma (grupo de Euclides), pertencem à mesma espécie.
