ações coadjuntas de grupos e física momento
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...Notamos de passagem que o sistema proposto à criança não é perfeito. Ele funciona adequadamente apenas se os objetos disponibilizados forem os mesmos que foram vendidos com o brinquedo. Nota-se que o compartimento "cilindros" permite introduzir cilindros de mesmo raio, mas de comprimentos diferentes, e também grampos, chupeta, chave de armário, etc...
...Logicamente, a criança que passa por esse aprendizado-grupo pode concluir que uma chave de armário e um cilindro são objetos da mesma espécie. É verdade, no sentido em que esses objetos têm a propriedade comum "que entra pelo buraco ali".
...Minha filha, quando era muito mais nova, realizou experiências muito interessantes sobre os grupos usando como janela de entrada, como filtro, a entrada do leitor do meu computador. Foi necessário um desmonte completo, após desativado, para reconstruir seu raciocínio, que era, de fato, lógico. Hoje ela ainda se sente muito atraída pelos grupos. Mas não são os mesmos e essas escolhas não me agradam muito.
...Voltemos ao nosso garoto de antes. Poucos meses depois, você vai introduzir o mesmo menino ao grupo de Galileu, lançando-lhe objetos e incentivando-o a pegá-los. Assim, a forma dos objetos não é mais importante, o que importa são seus movimentos. Mudamos de grupo. Para o bebê, o objeto (de tamanho suficientemente pequeno para que ele possa pegá-lo) torna-se equivalente ao seu centro de gravidade. É um "ponto-massa", um "ponto-material". O grupo de Galileu lida com a dinâmica de pontos materiais .
A classificação é feita então de acordo com os tipos de movimento.
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Isso, eu posso pegar.
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Isso, eu não posso pegar.
...Apreciando as condições iniciais, posição e vetor velocidade, de vista, o bebê deve reconhecer o tipo de movimento com o qual está lidando, e antecipar.
...Ao crescer, ele pode jogar tênis, sempre utilizando o grupo de Galileu que, como o grupo de Euclides, é uma matriz quadrada. Como as bolas de tênis se movem a velocidades evidentemente baixas em comparação com a velocidade da luz, ele não precisará recorrer ao grupo de Poincaré (outra matriz quadrada, que, esta sim, lida com os movimentos relativistas dos pontos materiais).
...Isso posto, os pontos materiais geridos pelo grupo de Galileu já não são mais os pontos do grupo de Euclides, eles têm atributos. O especialista em física matemática que manipula o grupo de Galileu já não fala mais de pontos materiais, mas de movimentos. O que ele busca classificar são movimentos. Assim, enfrentamos um aspecto essencial da física das partículas elementares: buscamos associar uma descrição fenomenológica:
Me diga como são seus movimentos, e eu te direi o que você é.
...Já não buscamos saber "de que é constituída uma partícula", mas como ela se comporta. Assim, as partículas neutras não se comportam da mesma forma que as partículas carregadas eletricamente. Elas pertencem a espécies diferentes. Elas possuem atributos diferentes.
...Nosso bebê de antes, tornando-se físico de alta energia, pode examinar diariamente fotos obtidas em câmara de bolhas.
Fotos obtidas com uma câmara de bolhas (Esquema..) ...Foto da esquerda: um próton, um nêutron e um elétron atravessaram o campo da câmara. A câmara está submetida a um campo magnético perpendicular ao plano da figura. O nêutron, isento de carga elétrica, não se importa. É ele quem vai em linha reta. As partículas carregadas têm raios de curvatura (raio de Larmor) muito diferentes. Os leves elétrons curvam-se muito mais rapidamente em um campo magnético perpendicular à direção de sua trajetória do que os pesados prótons. E ambos curvam-se em sentidos opostos.
Conjunto de movimentos, em um campo magnético, gerido por....
Mas esse grupo ainda não existe. Se você o encontrasse, faria muitas pessoas felizes.
...De qualquer forma, nosso homem, examinando suas fotos, percebe trajetórias pertencentes a conjuntos de movimentos diferentes.
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Isso vai em linha reta, é um nêutron.
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Isso curva-se para a direita, lentamente, é um próton.
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Isso curva-se rapidamente para a esquerda, é um elétron.
...Foto da direita: um elétron e um anti-elétron que, nascidos do mesmo radiação (pontilhado), adotam trajetórias simétricas, sinal de que possuem cargas elétricas opostas.
Classificação comportamental das espécies, como conjuntos de movimentos.
O momento.
...Esse objeto puramente geométrico pode ser considerado como um conjunto de atributos. Deixe de lado as partículas carregadas, voltaremos a elas posteriormente. Um "ponto material relativístico" possui atributos agrupados segundo o que o matemático Jean-Marie Souriau, líder em matéria de física matemática, chama de momento ligado ao grupo de Poincaré.
Os atributos do ponto material relativístico são chamados:
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Energia E
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Impulso p - Rotação **l **(ligado ao spin)
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Passagem f
O "momento" é assim:
**J **= { E , p , **l **, **f **}
**Observação de passagem **:
...Assim, adotamos a prática, em tudo o que se seguir, de designar as quantidades escalares com letras finas e as não escalares (matrizes quadradas, matrizes linha, matrizes coluna) com letras grossas.
...Precisão: então podemos realizar todas as multiplicações linha-coluna manipulando essas letras finas ou grossas, o que é extremamente conveniente. Dêmos um exemplo. A ação do elemento do grupo de Euclides 2d era escrita:
Introduzindo:
obteremos a escrita mais compacta:
g então se apresenta como uma matriz, composta por submatrizes:
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a é uma matriz quadrada de formato (2,2).
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c é um vetor-coluna (o vetor de translação) de formato (2,1).
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0 é um vetor-linha de formato (1,2) :
Em geral, os 0 em negrito são indistintamente vetores-linha ou vetores-coluna.
A ação é escrita então:
Dado que **a r **significa a x r (mas acabamos por negligenciar o sinal da multiplicação matricial).
Fim da observação, retorno ao tema do momento. Voltemos à expressão desse momento no caso do ponto material relativístico.
**J **= { E , p , **l **, **f **}
E é um escalar (a energia).
**p **é o vetor impulso
l e **f **(letras grossas) são outros vetores (lx,ly,lz) e (fx,fy,fz): o "giro" e o "passo".
...Ao longo de trabalhos pessoais que apresentaremos neste sub-site Geometrical Physics B (os grupos dinâmicos da física), o problema consistirá justamente em fazer emergir outros "atributos" das partículas elementares, como componente de um momento mais rico (as cargas: elétrica, barionica, leptônica, tauônica e o coeficiente giromagnético).
...Foi Souriau, nas décadas de 1970, que construiu o método que permite revelar as componentes do momento de um ponto material, a partir do grupo que o gerencia (na relatividade, trata-se do grupo de Poincaré). Ver o livro: Structure des Systèmes Dynamiques. Dunod 1973
Aspirina altamente recomendada.
...É então difícil ir mais longe sem implementar um equipamento matemático bastante amplo, se não complicado. Talvez façamos isso mais tarde, no site, se houver amantes, no estilo "Tudo o que você sempre quis saber sobre grupos sem jamais ousar perguntar".
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