grupos e ação coadjaente de momento em física

grupos e ação coadjoinda da física momento

Uma matriz quadrada de ordem (n,n) atua sobre um vetor coluna (n,0). Vimos que o grupo euclidiano 2D, referente a um espaço (x,y), não envolvia ações sobre vetores-coluna:

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mas sobre vetores-coluna:

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O que representa um exemplo de ação do grupo sobre um espaço X com x ** X **. Há uma infinidade de ações possíveis, mesmo apenas do grupo sobre si mesmo. As ações são definidas por axiomas.

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Considerando o vetor coluna:

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onde x representa, por exemplo, os vetores:

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que satisfazem os axiomas da ação do grupo. Pode-se então realizar uma multiplicação à esquerda da matriz quadrada que representa o elemento do grupo, com uma matriz linha y, perguntando-se se isso também é uma ação.

(57) Ag(y) = y x g

A resposta é não. Não se trata de uma ação de grupo: não satisfaz os axiomas dados acima. É então o que gosto de chamar de "anti-ação", obedecendo, portanto, aos "anti-axiomas" seguintes:

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O matemático dirá que não há necessidade de invocar essas "anti-ações" e que basta um conjunto de axiomas. Certamente. Da mesma forma, aquilo que é considerado uma "anti-ação":

(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g

com m sendo um vetor dado, uma "anti-ação do elemento g do grupo G sobre a matriz m", onde g⁻¹ representa a matriz inversa, pode ser tratado como uma ação do elemento g⁻¹.

Da mesma forma, uma "anti-ação" é simplesmente a dual de uma ação. Digo que isso me pareceu conveniente introduzir esse conceito, por razões didáticas.

A partir de um grupo de matrizes quadradas, dependendo de n parâmetros pi, pode-se construir matrizes diferenciando todos esses parâmetros segundo: dpi. As matrizes assim obtidas, pontilhadas de elementos dpi, não formam um grupo, mas o que se chama o "vetor tangente ao grupo": dg (sua "álgebra de Lie", que, aliás, tampouco é uma verdadeira álgebra, mas vamos passar por isso).

O grupo pode, portanto, atuar sobre o "vetor tangente" dg, próximo ao elemento neutro e do grupo, através da "anti-ação":

(60) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g

Obtemos, assim, o esquema:

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Mas uma anti-ação é a dual de uma ação. Quando há dualidade, há conservação de um produto escalar S. Souriau, portanto, buscou construir uma segunda ação do grupo, a ação do grupo sobre seu espaço de momentos. Mas essa ação, chamada ação coadjoinda ou essencial, não podia emergir diretamente. Ele precisou, então, passar por esse intermediário que chamo de "anti-ação do grupo sobre seu vetor tangente".

Assim, a ação procurada emerge como a dual da anti-ação do grupo sobre seu vetor tangente. E a dual de uma anti-ação é uma ação, que se escreverá:

(62) Ag(J)

onde J será o "momento": uma configuração de quantidades que são atributos de um "ponto material", a ação em questão, chamada coadjoinda, mostrando como esses atributos se modificam no movimento.

Existe um grupo, que será dado mais adiante, que é uma extensão do grupo de Galileu, também dado mais adiante, e que se chama grupo de Bargmann (1960). Aplicando este método a esse grupo, pode-se construir seu momento JB e a maneira como o grupo age sobre ele.

Souriau costuma dizer:
O momento segue o movimento como sua sombra.

Imagem elegante, tirada de sua obra "Gramática da Natureza". O ponto material efetivamente se move no espaço-tempo (x,y,z,t). Ao fazê-lo, seus atributos evoluem, sendo descritos por essa ação coadjoinda do grupo sobre seu espaço de momentos.