grupos e ação coadjunta de momento
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Essa ação coadjunta pode ser escrita sob forma matricial.
A matriz do grupo de Poincaré é:
(92)
sua transposta é:
(93)
Considere a matriz:
(94)
Ou seja, vamos colocar o momento
(95) Jp = { M , P }
sob forma matricial e formar o produto:
(96)
(97)
(98)
que posso identificar com a matriz:
(99)
Jp é, portanto, o momento do grupo de Poincaré, colocado sob forma matricial. E a ação coadjunta escreve-se:
(100)
A título de exercício, o leitor poderá, com base nos axiomas, verificar que se trata de fato de uma ação.
O momento do grupo de Poincaré pode ser explicitado da seguinte forma:
(101)
Essa matriz é anti-simétrica (o que implica que sua diagonal principal é composta por zeros). M é a matriz:
(102)
Explicitando-a:
(103)
Trata-se de fato de uma matriz anti-simétrica, hipótese formulada desde o início, que depende de seis parâmetros:
(104)
(lx, ly, lz, fx, fy, fz)
Os três últimos (fx, fy, fz) são as componentes de um vetor, o vetor-deslocamento f:
(105)
Os três primeiros (lx, ly, lz) são as componentes independentes de uma matriz anti-simétrica (3,3), o giro l:
(106)
Assim:
(107)
O vetor P é o quadri-vetor energia-impulsão:
(108)
Podemos então explicitar o momento do grupo de Poincaré, em toda sua generalidade:
(109)
Verifica-se que se trata de fato de um objeto com dez componentes (número igual ao das dimensões do grupo).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}