grupos e ação coadjaacente de momento da física

grupos e ação coadjunta da física momento

Partículas de spin com massa não nula.

Já não há mais ligação direta entre energia e momento, como ocorre com os fótons e neutrinos, partículas de massa nula.

(131)

m sendo a massa em repouso, que então se identifica com a massa emergente do grupo de Bargmann, temos:

(132a)

(132b)

Limitemo-nos a:

Próton
elétron
nêutron
e suas antipartículas.

As partículas possuem diferentes cargas, atributos, que também não emergem do grupo de Poincaré:

• A carga elétrica e = ± 1
• A carga bariônica cB = ± 1
• A carga leptônica cL = ± 1
• A carga múonica cm = ± 1
• A carga tauônica ct = ± 1
• O coeficiente giromagnético v

A inversão de todas essas quantidades corresponde à simetria C. Podemos, portanto, agrupar tudo isso conforme a tabela a seguir:

(133)

que pode assumir qualquer orientação, assim como o spin.

O momento magnético é igual ao coeficiente giromagnético v multiplicado pelo spin s.

(134)

Aqui utilizamos uma letra em negrito s para o spin. Isso significa que a direção do spin das partículas pode ser qualquer. Porém, seu módulo é uma de suas características e é fundamentalmente invariante (quantificação geométrica da rotação das partículas).

A simetria C, a conjugação de cargas, invertendo o coeficiente giromagnético v, também inverte o momento magnético.

Imãs permanentes.

Se colocarmos um pedaço de ferro macio em um campo magnético suficientemente forte, e depois reduzirmos esse campo, o metal manterá uma magnetização permanente. O que aconteceu?

O campo magnético alinha os spins dos elétrons, que se comportam como pequenos ímãs, pequenos dipolos magnéticos.

Mas por que eles conservam então a direção que lhes foi imposta? Por imitação. Cada elétron se alinha segundo o campo magnético criado por seus vizinhos. E, como os outros fazem o mesmo, todos esses momentos conservam seu paralelismo. É como um "Panurge espacial". A menos que aqueçamos o pedaço de metal ou o golpeemos, caso em que acabaremos perturbando essa bela ordenação eletrônica.

Momento magnético da antimateria.

A conjugação de carga, ligada à transformação matéria-antimateria no sentido de Dirac (veremos mais adiante o que isso significa), implica a inversão do momento magnético, devido à inversão do coeficiente giromagnético, enquanto o spin permanece inalterado.

É claro que essa simetria C não modifica nem a energia, nem o momento da partícula.

As quatro componentes do grupo de Lorentz.

Como já vimos, o elemento L do grupo de Lorentz L é definido axiomáticamente. Deve obedecer a:

(135)

(136)

Toda matriz L que obedeça a essa definição faz parte do grupo L. É uma matriz de formato (4,4), que pode, por exemplo, atuar sobre:

(137)

ou seja, sobre o espaço-tempo. Assim, temos o direito de nos perguntar se essas matrizes não são suscetíveis de operar simetrias nesse espaço. Seria possível, por exemplo, trocar x por -x? Seria possível classificar essas matrizes em diferentes subconjuntos, aquelas que realizam essa operação e aquelas que não a realizam?

Há muito tempo atrás (em inglês, many beautiful candles ago), tudo isso foi explorado, e demonstrado que o grupo de Lorentz é, na verdade, composto por quatro tipos de matrizes.

Ln — aquelas que não invertem nem o espaço nem o tempo.
Ls — aquelas que invertem o espaço
Lt — aquelas que invertem o tempo
Lst — aquelas que invertem ambos.

Chamamos esses conjuntos de componentes de um grupo. Assim, o grupo de Lorentz é um grupo com quatro componentes.

Podemos imediatamente produzir quatro matrizes, cada uma pertencente ao subconjunto citado:

(138)

An = 1 (elemento neutro), pertence a Ln: não inverte nem o espaço nem o tempo.
As pertence a Ls: inverte o espaço
At pertence a Lt: inverte o tempo
Ast pertence a Lst: inverte tanto o espaço quanto o tempo.

Para formar um grupo (neste caso, um subgrupo do grupo de Lorentz), é necessário que um conjunto de matrizes contenha o elemento neutro 1 no formato (n,n) considerado, aqui: (4,4). Apenas as matrizes do conjunto Ln satisfazem esse critério. Elas formam um subgrupo do grupo de Lorentz. Como esse conjunto de matrizes contém o elemento neutro do grupo, é chamado também de componente neutra do grupo. Os outros conjuntos de matrizes não formam subgrupos (impossível: não contêm o elemento neutro).

Observação:

(139) At = - As Ast = - An

Podemos então considerar o conjunto Lo = Ln » Ls, que é um subgrupo do grupo de Lorentz e que chamaremos de ortocrono [1]. As matrizes Lac = Lt » Lst não formam um grupo, mas o conjunto das componentes relacionadas à inversão do tempo, conjunto que chamaremos de anticrono [12]. O grupo de Lorentz completo é:

(140) L = Lo » Lac

Mas também podemos notar que o elemento:

(141) m Lo, com m = ± 1

cobre o grupo completo.