grupos e ação coadunada da física momento
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As quatro componentes do grupo de Poincaré.
A partir do grupo de Lorentz, constrói-se o grupo de Poincaré, já mencionado:
(142)
C é o vetor "translação espaço-temporal".
(143)
Esse grupo de Poincaré também terá quatro componentes, cada uma associada à componente correspondente do grupo de Lorentz.
Acima, a ação do grupo sobre seu espaço de movimentos. Mas o que é interessante são as ações das quatro componentes sobre o momento. Ver: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (e Birkhauser 1997, em inglês), capítulo III, página 197, seção intitulada: Inversões de espaço e de tempo.
Recordemos as componentes do momento associado ao grupo de Poincaré:
E: energia
p: momento
f: passagem
l: rotação
Para nos aproximar das notações de Souriau, chamemos:
- Ln a componente neutra do grupo de Lorentz.
- Ls a que inverte o espaço.
- Lt a que inverte o tempo — Lst a que inverte ambos.
C, sendo uma translação espaço-temporal, as quatro componentes do grupo de Poincaré são:
gp (Ln, C) componente neutra
gp (Ls, C) inverte o espaço
gp (Lt, C) inverte o tempo
gp (Lst, C) inverte o espaço e o tempo.
Vamos investigar os efeitos sobre as componentes do momento. Devemos considerar as fórmulas que dão a ação do grupo sobre seu espaço de momentos:
(144)
P é o quadrivetor:
(145)
Podemos escrever as matrizes a serem analisadas:
(146)
com l = ±1 e m = ±1.
Ln = L(l = 1; m = 1)
Ls = L(l = -1; m = 1)
Lt = L(l = 1; m = -1)
Lst = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
Passemos à análise da ação sobre a rotação e a passagem.
(149)
Mas, no que nos interessa, C = 0
(150)
logo l' = l e f' = l m f
Deduzimos:
(151) gp (Ln, C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp (Ls, C): I E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp (Lt, C): I E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp (Lst, C): I E → -E; p → -p; f → f; l → l
As inversões nunca alteram a rotação l.
Por outro lado, a inversão temporal e a inversão da energia, E → -E, são sinônimas.
A rotação é sinônima de spin, quando quantificada. Nenhuma inversão a altera.
O spin (como módulo do vetor rotação da partícula) é apenas um número.
A energia de uma partícula em repouso é mc².
A inversão temporal é sinônima da inversão da massa m.
A inversão espacial não inverte a massa.
As duas primeiras componentes do grupo são denominadas por Souriau ortocronas, e as duas últimas antiortocronas.
Ele observa que tudo isso levanta o problema das massas negativas, que os físicos geralmente não gostam. De fato, o que acontece com o resultado da colisão de duas partículas com energias +mc² e -mc²?
Há uma aniquilação completa. Não se trata apenas da aniquilação matéria-antimatéria, que produz fótons. Tratar-se-ia de um fenômeno que geraria o nada em estado puro.
Para evitar esse problema das massas negativas, Souriau considera duas soluções. A primeira consiste em decidir pura e simplesmente que partículas de massa negativa não existem. A segunda consiste em excluir as transformações antiortocronas.
Reformulando, poderíamos dizer que:
- Deus, em sua infinita sabedoria...
Continuemos a construir elementos que servirão de ponto de partida para nosso próprio trabalho.