grupos e ação coadjunta da física momento
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Extensão central do grupo de Poincaré.
Encontra-se menção a tal extensão no livro de J.M. Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques. Sua abordagem de quantificação geométrica permite, a partir do grupo, recuperar as equações da Mecânica Quântica. Por exemplo, o grupo de Bargmann, que descreve a partícula material não relativística, conduz à equação de Schrödinger, também não relativística.
O ponto de partida é o grupo de Galileu. Trata-se de uma matriz de formato (5,5), construída da seguinte maneira:
(152)
A matriz de rotação depende de três parâmetros, os ângulos de Euler. Assim, a dimensão do grupo é dez.
Utilizando as notações:
(153)
(154)
associadas ao espaço-tempo:
(155)
Embora isso pareça estranho, a construção da ação coadjunta do grupo sobre seu espaço de momentos não faz surgir a massa m como objeto geométrico. Isso só pode ser feito por meio de uma extensão não trivial desse grupo, o grupo de Bargmann (1960).
(156)
A presença do escalar f dá a este grupo uma dimensão a mais: onze.
Esse grupo age sobre um espaço de cinco dimensões, o espaço-tempo, mais uma dimensão adicional z, por meio da ação:
(157)
A ação coadjunta do grupo de Bargmann sobre seu momento foi apresentada anteriormente. Observa-se que a adição do escalar f, ao aumentar a dimensão do grupo, acrescenta uma componente ao momento, que então se identifica com a massa m (a qual, aliás, é conservada: m' = m).
Partindo do grupo de Bargmann e utilizando sua metodologia de quantificação geométrica, Souriau pode então construir a equação de Schrödinger, não relativística.
A equação quântica relativística é a equação de Klein-Gordon. Era, portanto, lógico procurar qual grupo poderia gerá-la. Trata-se da extensão central:
(158)
"pe" para "Poincaré estendido". Aqui construímos o grupo de Poincaré a partir do subgrupo ortocrono do grupo de Lorentz Lo.
O espaço associado a este grupo também é um espaço de cinco dimensões:
(159) ( t , x , y , z , z ).
Essa extensão é mais simples que a de Bargmann, mas, na verdade, as coisas são sempre mais fáceis no contexto relativístico. Demonstra-se, incidentalmente, que entre o 1 e o f da primeira linha só pode existir a matriz linha 0 = (0 0 0): apenas zeros.
O método de quantificação geométrica conduz então à equação de Klein-Gordon. Tratando-se da ação do grupo sobre seu espaço de momentos, obtemos:
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
O cálculo não é complicado. Na verdade, ele se assemelha completamente ao cálculo da ação coadjunta do grupo de Poincaré sobre seu momento.
Calcula-se a ação contrária:
(160 b)
em seguida, expressa-se a invariância do produto escalar (dualidade):
(160 c)
Se você conseguir sair desse cálculo, será um sinal francamente positivo. Isso significaria que você está começando a se envolver nesse caos.
Aparece então um escalar c, cuja única função é se conservar. O que significa isso? Não há explicação. É simplesmente "algo que se conserva". Pode-se atribuir a ele, por exemplo, o status de carga elétrica.
A primeira ideia que surge é realizar esse tipo de extensão múltiplas vezes:
(161)
Demonstraremos mais adiante que essa operação pode ser realizada indefinidamente, adicionando a cada vez um escalar adicional:
(162) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P } Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }
com a seguinte ação coadjunta:
(163)
Consideraremos então que certos valores discretos das componentes do momento representam as cargas da partícula.
Bem, dirá o leitor, efetivamente, poderíamos adicionar, por exemplo, seis linhas extras. Obteríamos então a invariância de escalares que poderíamos identificar com:
(164)
c₁ = e (carga elétrica)
c₂ = cB (carga bariônica)
c₃ = cL (carga leptônica)
c₄ = cm (carga múonica)
c₅ = ct (carga tauônica)
c₆ = v (coeficiente giromagnético)
Bastaria considerar o grupo, com a ação correspondente, associado a um espaço de dez dimensões:
(165) (x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
Mais uma vez, construímos o grupo em torno do subgrupo ortocrono Lo do grupo de Lorentz:
Lo = Ln (componente neutra) » Ln (inversão do espaço).
Esse grupo, com duas componentes, faz simplesmente aparecer seis escalares que acompanham a partícula sem interagir com nada. O momento torna-se:
(167) Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
Jp sendo a "parte de Poincaré". Mas isso permanece de interesse limitado.