f4202 Geometrização da matéria e da antimateria pela ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de impulso. 1:
Carregas como componentes escalares adicionais do impulso de um grupo atuando em um espaço de 10 dimensões.
Definição geométrica da antimatéria. (p2) – Uma terceira componente :
(14)
construída a partir da componente $L_t$ do grupo de Lorentz.
– e uma quarta :
(15)
construída a partir da componente $L_{st}$ do grupo de Lorentz.
Um grupo atua sobre seu espaço de impulso [1]. Denotemos por $J_p$ o espaço de impulso associado ao grupo de Poincaré.
...Cada elemento particular J$_p$ de $J_p$ corresponde a um movimento particular de um ponto massivo relativístico, descrito por este grupo. Pode-se calcular a ação coadjunta do grupo sobre o impulso [1].
O impulso é um conjunto de 10 componentes (iguais à dimensão do grupo). Essas componentes são :
(16) J$_p$ = { $E$, $p_x$, $p_y$, $p_z$, $f_x$, $f_y$, $f_z$, $s_x$, $s_y$, $s_z$ } = { $E$, p, f, s }
$E$ é a energia.
p é o vetor impulso :
(17)
f é o vetor de passagem [1].
(18)
s é uma matriz antissimétrica (3,3), cujas componentes independentes são
(19)
{ $s_x$, $s_y$, $s_z$ }
O impulso pode ser disposto na forma matricial [1], com :
(20)
e :
(21)
Introduzamos o quadrivetor impulso-energia :
(22)
(23)
ou ainda :
(24)
Em seguida, a ação coadjunta do grupo de Poincaré pode ser escrita na forma matricial :
(25)
Mais explicitamente :
(26)
...É interessante estudar o efeito das diferentes componentes do grupo de Poincaré completo sobre as componentes de seu espaço de impulso. Pode-se concentrar em matrizes particulares :
(27)
A é a matriz de Lorentz associada.
A ação coadjunta dá :
(28)
(29)
onde $I_4$ é a componente neutra do grupo de Poincaré completo.
A ação coadjunta correspondente é :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
— que inverte o espaço. A ação coadjunta correspondente é :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— que inverte o tempo. A ação coadjunta correspondente é :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— que inverte tanto o espaço quanto o tempo. A ação coadjunta correspondente é :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
Como destaca J.M. Souriau [1], as duas componentes
\begin{pmatrix} E \ \mathbf{p} \end{pmatrix}
são acompanhadas pela inversão da energia $E \mapsto$ –$E$, o que implica a inversão da massa $m \mapsto$ –$m$.
Definamos os seguintes conjuntos de matrizes :
(30)
Versão original (inglês)
f4202 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. (p2) - A third component :
(14)
built with the component Lt of the Lorentz group.
- and a fourth one :
(15)
built with the component Lst of the Lorentz group.
A group acts on its momentum space [1]. Call Jp the momentum space associated to the Poincaré group.
...Each peculiar moment Jp Jp, is a peculiar movement of the relativistic mass point, described by this group. On may compute the caodjoint action of the group on the momentum [1].
The momentum is a set of 10 components (equal to the dimension of the group). These components are :
(16) Jp** **= { E , px , py , pz , fx , fy , fz , sx , sy , sz } = { E , p , **f **, **s **}
E is the energy.
p is the impulsion vector :
(17)
f is the passage vector [1].
(18)
** ** s is an antisymmetric (3,3) matrix, whose independant components are
(19)
{ sx , sy , sz }
The momentum can be arranged into a matrix form [1], with :
(20)
and :
(21)
Introduce the impulsion-Energy four-vector :
(22)
(23)
or :
(24)
Then the coadjoint action of the Poincaré group can be written into a matrix form :
(25) )
More explicitely :
(26)
...It is interesting to study the impact of the different components of the complete Poincaré group on the components of its momentum. We can concentrate on peculiar matrixes :
(27)
A is the associated Lorentz matrix.
The coadjoint action gives :
(28)
(29)
and is the neutral component of the complet Poincaré group.
The corresponding coadjoint action is : E --> E ; **p **--> p ; f ---> f ; s ----> s
which reverses space. The corresponding coadjoint action is :
E --> E ; **p **--> - p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses both space and time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> - p ; f ---> f ; s ----> s
As pointed out by J.M.Souriau [1] , The two components
go with the inversion of the energy E ----> - E , so that it implies the inversion of the mass m ---> - m
Define the following sets of matrixes :
(30) .