f4301 Geometrização da matéria e da antimatéria através da ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de momento. 2 :
Descrição geométrica da antimatéria de Dirac
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy ** Observatório de Marselha ---
Resumo :
...Estendemos o grupo anterior a um conjunto com quatro componentes ortocrônicas. Esta operação fornece uma interpretação geométrica da antimatéria após Dirac.
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1) Introdução :
...Em um artigo anterior [1], apresentamos uma descrição das partículas elementares em um espaço de dez dimensões, ou seja, o espaço-tempo (x,y,z,t) mais seis dimensões adicionais:
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
Apresentamos um grupo de 16 dimensões, extensão do subgrupo ortocrônico de Poincaré, atuando sobre:
-
seu espaço de momento de 16 dimensões
-
seu espaço de movimento de 10 dimensões.
As seis componentes adicionais do momento foram identificadas às cargas das partículas:
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
de forma que o momento torna-se:
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } onde Jp representa o momento clássico, proveniente do subgrupo ortocrônico de Poincaré:
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
segundo J.M. Souriau [1].
Estabelecemos a ligação entre as espécies de momentos e as espécies de movimento, sugerindo que:
-
O movimento da matéria corresponde ao setor { z i > 0 }.
-
O movimento da antimatéria corresponde ao setor { z i < 0 }.
-
O movimento dos fótons corresponde ao plano { z i = 0 }.
Tudo isso deve agora ser justificado.
2) Introdução de um grupo com quatro componentes. Geometrização da antimatéria de Dirac.
...O grupo anterior de 16 dimensões tinha duas componentes, correspondendo às duas componentes ortocrônicas do grupo de Lorentz, Ln (componente neutra) e Ls, com:
(5) Lo (subgrupo ortocrônico) = Ln U Ls
Nosso grupo era uma extensão do subgrupo ortocrônico de Poincaré:
(6) Go = Gn U Gs
e o escrevemos:
(7)
A ação coadjunta correspondente era:
(8)
com:
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Em tal grupo, nenhum elemento transforma o movimento de um ponto material no movimento de um ponto de antimatéria, nem vice-versa. De acordo com a definição escolhida da antimatéria, através de uma:
(10) Simetria z : {z i} ----> {- z i}
um elemento deveria inverter as dimensões adicionais. Com:
(11)
podemos escrever o grupo anterior em uma forma mais compacta:
(12)
Ele contém o elemento neutro:
(13)
A matriz que inverte as dimensões adicionais é o seguinte comutador ortocrônico:
(14)
Podemos duplicar o grupo anterior através da operação:
(15) go x goc
O que é equivalente a escrever o novo grupo com quatro componentes, cujos elementos são:
(16)
A ação coadjunta correspondente é:
(17)
Vemos que ( l = - 1 ) inverte as cargas. Nesse caso, a inversão das dimensões adicionais:
(18) Simetria z : {z i} ----> {- z i}
vai de par com uma:
(19)
Simetria C (ou conjugação de carga): { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
o que corresponde à descrição da antimatéria de Dirac [4], de forma que este trabalho representa uma geometrização da antimatéria segundo Dirac.
Versão original (inglês)
f4301 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 :
Geometrical description of Dirac's antimatter
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy** Observatoire de Marseille ---
Abstract :
...vWe extend the precedent group to a four-components orthochron set. This operation gives a geometrical interpretation of antimatter after Dirac.
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1) Introduction :
...In a former paper [1] we have presented a description of elementary particles ins a ten-dimensional space, i.e. space-time (x,y,z,t) plus six additional dimensions :
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
We presented a 16-dimensions group, an extension of the Poincaré orthochron subgroup, acting on :
-
its 16-dimensions momentum space
-
its 10-dimensional movement space.
The six additional components of the momentum have been identified to the charges of the particles :
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
so that the momentum becomes :
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } where Jp represent the classical moment, from the orthochron Poincaré sub-group :
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
after J.M.Souriau [1].
We have figured the link between the species of moments and the species of movement, suggesting that :
-
The movement of matter corresponds to { z i > 0 } sector.
-
The movement of antimatter corresponds to { z i < 0 } sector.
-
The movement of photons corresponds to { z i = 0 } plane.
All that must be now justified.
2) Introducing a four components group. Geometrization of Dirac's antimatter.
...The precedent 16-dimensional group had two components, correspondong to the two orthochron components of the Lorentz group, Ln ( neutral component ) and Ls , with :
(5) Lo ( orthochron sub-group ) = Ln U Ls
Our group was an extension of the orthochron Poincaré sub-group :
(6) Go = Gn U Gs
and we wrote it :
(7)
The corresponding coadjoint action was :
(8)
with :
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...In such a group no element transforms the movement of a matter mass-point into the movement of an antimatter mass-point, and vice versa. According to the chosen definition of antimatter, through a :
(10) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
some element should reverse the additional dimensions. With :
(11)
we can write the precedent group into a more compact form :
(12)
It contains the neutral element :
(13)
The matrix that reverses the additional dimensions is be the following orthochron commuter :
(14)
We can duplicate the precedent group through the operation :
(15) go x goc
It is equivalent to write the new four component group, whose element is :
(16)
The corresponding coadjoint action is :
(17)
We see that ( l = - 1 ) reverses the charges. In that case the inversion of the additional dimensions :
(18) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
goes with a :
(19)
C-symmetry (or charge conjugation ) : { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
which corresponds to Dirac's description of antimatter [4], so that the present paper represents a geometrization of antimatter after Dirac.