a702 A obra de J.M. Souriau sobre o sistema solar. ** **
...Este trabalho foi apresentado por J.M. Souriau em 1989, em uma reunião científica dedicada à gravitação, realizada em Gênova, Suíça. O título do artigo era: Fenômenos ressonantes e não ressonantes no sistema solar
...Souriau parte da análise dos períodos orbitais dos diferentes planetas. A Terra gira em torno do Sol em 365 dias. A duração do ano venusiano é de 225 dias. A partir desses dois números, Souriau constrói uma sequência de Fibonacci (onde cada termo é a soma dos dois anteriores). Sabemos que a razão entre termos consecutivos tende para o número de ouro. Ele compara esses valores com os períodos orbitais. ** **
30 Sol (29 dias) 55 nada 85 Mercúrio (88 dias) 140 nada 225 Vênus 365 Terra. 590 (1 ano e 7 meses): Marte (1 ano e 10 meses) 955 nada 1545 (4 anos e 3 meses): Ceres-Pallas (cintura de asteroides) 2500 nada 4045 (11 anos): Júpiter (11 anos e 10 meses) 6545 nada 10590 (29 anos): Saturno (29 anos e 5 meses) 17135 nada 27725 (76 anos) Urano (84 anos) 44860 nada 72585 (199 anos) Netuno (165 anos), Plutão (248 anos)
...Em seguida, ele estuda as ressonâncias nos pares de planetas. Matemáticos (Liouville, Hurwitz, Borel) estabeleceram um teste matemático, uma "medida do grau de irracionalidade de um número dado", indicando "a que distância" ele se encontra de uma fração racional, do quociente de dois inteiros. (a701)
Borel introduz o número: q (x, q) = (denominador)² * | x - q |
q(x) é o limite inferior, quando q assume valores racionais.
q tende a zero se x estiver próximo de um número racional. Obtemos uma curva mostrando a medida de irracionalidade q(x) de um número dado x. Entre todos os valores possíveis, dois números são os mais irracionais: o número de ouro: (a702)
- e seu quadrado: w² = 1 - w = 0,3820...
como pode ser visto no diagrama a seguir. (a703)
Fig.1 : Diagrama q(x) mostrando seus dois picos característicos correspondentes ao número de ouro e ao seu quadrado.
Esta função q(x), que não tem nada a ver com nenhum elemento observado, é um objeto puramente matemático. As lacunas visíveis correspondem às frações racionais (q = 0).
Em seguida: os períodos orbitais, a unidade sendo o ano terrestre.
Mercúrio : 0,2408425
Vênus : 0,6151866
Terra : 1,0000000
Marte : 1,8808155
Ceres-Pallas : 4,604
Júpiter : 11,86178
Saturno : 29,45665
Urano : 84,0189
Netuno : 164,765
Plutão : 247,68
Calcular a razão dos períodos orbitais de Netuno e Plutão. (a704)
...Se calcularmos a razão de dois períodos consecutivos, constata-se que essas razões estão entre 1/3 e 2/3. Cinco razões estão entre 0,35 e 0,40. O par Netuno-Plutão é, portanto, ressonante.
Souriau aplica o teste mencionado acima aos pares de planetas.
Netuno-Plutão: x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Urano-Netuno: x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Urano-Plutão: x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Vênus-Marte: x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Júpiter-Saturno: x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...Percebe-se que dois planetas distantes, Netuno e Plutão, possuem uma ressonância excepcionalmente forte. Souriau decide ignorar esse par particular na análise seguinte, baseada na análise de Fourier dos períodos Pj: (a705)
Na figura a seguir, |F(a)|⁴ é traçada. (a706)
Figura 2 : Função F(a)
...Souriau encontra dois picos significativos para os valores 0,615 e 0,380, correspondendo muito bem à curva q(x) da figura 1. Veja a figura 3. : (a707)
Figura 3.
...Ele conclui que, em sua totalidade, o sistema solar é um sistema não ressonante, ou fracamente ressonante. Ele realiza uma transformada de Fourier inversa (recíproca) para construir os valores prováveis dos períodos orbitais. A transformada de Fourier recíproca (a708)
pode ser construída a partir de linhas selecionadas ak. Ele seleciona as duas linhas particulares: a₁ = w a₂ = w²
Ele obtém, então, os seguintes resultados. Os valores reais dos períodos orbitais são indicados. (a709)
Figura 4 : Período provável P para os planetas, baseado em um espectro limitado às duas linhas particulares w e w²