O trabalho de J.M. Souriau sobre o sistema solar.
...Este trabalho foi apresentado por J.M. Souriau em 1989, numa reunião científica dedicada à gravitação, realizada em Genebra, Suíça. O título do artigo era:
Fenómenos ressonantes e não ressonantes no sistema solar
...Souriau parte da análise dos períodos orbitais dos diferentes planetas. A Terra gira em torno do Sol em 365 dias. A duração do ano venusiano é de 225 dias. A partir destes dois números, Souriau constrói uma série de Fibonacci (em que qualquer termo é a soma dos dois precedentes). Sabemos que a razão de termos sucessivos tende para o número de ouro. Ele compara os valores com os períodos de orbitação.
30 Sol (29 dias)
55 nada
85 Mercúrio (88 dias)
140 nada
225 Vénus
365 Terra.
590 (1 ano e 7 meses):
Marte (1 ano e 10 meses)
955 nada
1545 (4 anos e 3 meses):
Ceres-Palas (cintura de asteroides)
2500 nada
4045 (11 anos):
Júpiter (11 anos e 10 meses)
6545 nada
10590 (29 anos):
Saturno (29 anos e 5 meses)
17135 nada
27725 (76 anos)
Urano (84 anos)
44860 nada
72585 (199 anos)
Neptuno (165 anos), Plutão (248 anos)
...Depois estuda ressonâncias em pares de planetas. Matemáticos (Liouville, Hurwitz, Borel) construíram um teste matemático, uma "medida do nível de irracionalidade de um dado número", quão "longe" ele se afasta de uma fração racional, da razão de dois inteiros.
(a701)
Borel introduz o número:
q ( x , q) = (denominador)2
* I
x - q I
q(x)
se o limite inferior, quando q toma valores racionais.
q tende para zero se x está próximo de um número racional. Obtemos uma curva que mostra a medida de irracionalidade q(x) de um dado número x. Entre todos os valores possíveis, dois números são os mais irracionais
-
O número de ouro:
(a702)
-
e o seu quadrado: w2
= 1 - w = 0,3820...
como se pode ver no diagrama seguinte.
(a703)
Fig.1: Diagrama q (x)mostrando os seus dois picos característicos
correspondentes ao número de ouro e ao seu quadrado.
Esta função q(x), que nada tem a ver com qualquer material observacional, é um objeto puramente matemático. As lacunas visíveis correspondem a frações racionais ( q = 0 ).
A seguir: os tempos de orbitação, em que a unidade é o ano terrestre.
Mercúrio: 0,2408425
Vénus: 0,6151866
Terra: 1,0000000
Marte: 1,8808155
Ceres-Palas: 4,604
Júpiter: 11,86178
Saturno: 29,45665
Urano: 84,0189
Neptuno: 164,765
Plutão: 247,68
Calcule a razão dos períodos de orbitação de Neptuno e Plutão.
(a704)
...Se se calcular a razão de dois períodos sucessivos, vê-se que estas razões se situam entre 1/3 e 2/3. Cinco razões situam-se entre 0,35 e 0,40. O par Neptuno-Plutão é ressonante.
Souriau aplica o teste evocado acima a pares de planetas.
Neptuno-Plutão: x = 2/3
x 0,9980
q = 0,01
Urano-Neptuno: x = 1/2
x 1,0199
q = 0,04
Urano-Plutão: x = 1/3
x 1,0176
q = 0,05
Vénus-Marte: x = 1/3
x 0,9812
q = 0,06
Júpiter-Saturno: x = 2/5
x 1,0067
q = 0,07
...Vemos que dois planetas distantes, Neptuno e Plutão, possuem uma ressonância excecionalmente forte. Souriau decide negligenciar este par peculiar de planetas, na análise seguinte, baseada na análise de Fourier dos períodos Pj:
(a705)
Na figura seguinte representa-se IF(a)I4.
(a706)
Figura 2: Função F(a)
...Souriau encontra dois picos significativos para os valores 0,615 e 0,380, que se ajustam muito bem à curva q(x) da figura 1. Ver a figura 3.:
(a707)
Figura 3.
...Conclui que, no seu conjunto, o sistema solar é um sistema não ressonante, ou fracamente ressonante. Faz uma transformada de Fourier inversa (recíproca) para construir os valores prováveis dos períodos orbitais. A transformada de Fourier recíproca
(a708)
pode ser construída a partir de linhas selecionadas ak. Seleciona as duas linhas peculiares:
a1 = w
a2 = w2
Obtém então os seguintes resultados. Os valores verdadeiros dos períodos orbitais são indicados.
(a709)
Figura 4: Período provável P para os planetas, baseado num espetro limitado às duas linhas peculiares w e w2
