O sistema solar estruturado pelo número de ouro. Lei Dourada de Souriau Evocação do trabalho de Jean-Marie Souriau
sobre a dinâmica do sistema solar.
...Esse trabalho foi apresentado por esse autor em um colóquio realizado no observatório de Genebra, em 1989, cujo tema era:
"Resonâncias e não-resonâncias no sistema solar"
...O ponto de partida de Souriau é a análise dos períodos das órbitas das diferentes planetas. Ele retém então o da Terra: 365 dias e o de Vênus: 225 dias e calcula, tanto para a frente quanto para trás, a sequência de Fibonacci correspondente (ou do tipo Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois que o precedem). Sabe-se que nessas condições, a razão entre dois números consecutivos dessa sequência tende para o número de ouro.
...Souriau obtém então o seguinte:
30 Sol (29 dias)
55 Nada
85 Mercúrio (88 dias)
140 Nada
225 Vênus
365 A Terra
590 (1 ano e sete meses) Marte (1 ano e 10 meses)
955 Nada
1545 (4 anos e 3 meses) Cérès-Pallas (cinturão de asteróides)
2500 Nada
4045 (11 anos) Júpiter (11 anos e 10 meses)
6545 Nada
10590 (29 anos) Saturno (29 anos e 5 meses)
17135 Nada
27725 (76 anos) Urano (84 anos)
44860 Nada
72585 (199 anos) Netuno (165 anos), Plutão (248 anos)
...Coincidência bastante surpreendente, convenhamos. Souriau estuda então as ressonâncias entre os planetas. Para isso, é necessário dispor de um teste que meça se a razão x de dois períodos, compreendida entre zero e 1, é "próxima" a uma fração irredutível:
...Há muito tempo que tal teste foi elaborado pelos matemáticos (Liouville, Hurwitz, Borel, etc). Trata-se do número:
q ( x , q) = (denominador)2 x I x - q I
...Ao denotar por q(x) seu limite inferior quando q percorre o conjunto dos racionais, q é nulo se x é racional, pequeno se x está próximo de um racional; ele mede, portanto, a irracionalidade de x. Os números "mais irracionais" são, então, o número de ouro:
e seu quadrado: w2 = 1 - w = 0,3820...
Pode-se constatar isso no gráfico da função q
**Fig.1: Gráfico da função **q com seus dois picos, correspondentes aos números os "menos ressonantes": **o número de ouro e seu quadrado. **
...Essa função q (que não tem nada a ver com os dados
de observação) é um "objeto matemático" puro, uma propriedade derivada da sequência dos números reais. Essa sequência contínua secreta então esse espectro estranho, populado de lacunas (onde se situam os rácios de números inteiros, números racionais, onde q = 0).
...Abaixo as períodos de revolução das principais planetas do sistema solar, em anos:
Mercúrio: 0,2408425
Vênus: 0,6151866
Terra: 1,0000000
Marte: 1,8808155
Cérès-Pallas: 4,604
Júpiter: 11,86178
Saturno: 29,45665
Urano: 84,0189
Netuno: 164,765
Plutão: 247,68
Observar que a razão entre os períodos de Plutão e Netuno é:
...A razão de um desses termos ao seguinte permanece compreendida entre 1/3 e 2/3. Cinco dessas nove razões estão compreendidas entre 0,35 e 0,40. Souriau então começa a estudar as razões entre os períodos de diferentes planetas. Dois planetas em ressonância perfeita levariam a uma razão de seus períodos que seria um número racional, o quociente de dois números inteiros.
...Souriau decide analisar as diferentes ressonâncias, no sistema solar, no estado atual. Para isso, ele toma as razões dos períodos de rotação dos principais planetas, dois a dois, e aplica o teste mencionado acima.
...Um cálculo simples permite-lhe estabelecer a lista das ressonâncias entre os grandes planetas (Cérès e Pallas são os maiores dos "pequenos planetas" e suas razões diferem apenas em 3 dias e situam-se na cintura de asteróides), cujo teste q é inferior a 0,1 (denominador ? 6). :
Netuno-Plutão: x = 2/3 x 0,9980 q = 0,01
Urano-Netuno: x = 1/2 x 1,0199 q = 0,04
Urano-Plutão: x = 1/3 x 1,0176 q = 0,05
Vênus-Marte: x = 1/3 x 0,9812 q = 0,06
Júpiter-Saturno: x = 2/5 x 1,0067 q = 0,07
...Essa tabela mostra que os dois planetas mais distantes, Netuno e Plutão, apresentam ressonâncias particularmente marcadas. Eles formam, portanto, um "par especial" em relação aos outros e Souriau decide ignorá-los na análise que vai seguir, realizando uma análise de Fourier dos períodos:
...Pj sendo os períodos dos planetas, de Mercúrio a Urano. As razões sucessivas dos períodos estão compreendidas entre 1/3 e 2/3. A figura a seguir sugere a forma da curva IF(a)I para a variando entre 1/3 e 2/3. Para maior clareza, Souriau representou no gráfico IF(a)I4.
Figura 2: Função F(a)
...Dois picos significativos aparecem para os valores 0,615 e 0,380 em coincidência precisa com os picos da figura 1 (w = 0,618 e w2 = 0,380). Souriau então superpõe esse espectro com a função q :
Figura 3.
e conclui a um efeito global de não-ressonância, exceto pelo par ressonante Netuno-Plutão. O desfasamento de F entre os dois picos pode ser interpretado pela transformada de Fourier inversa: a partir de um certo número de linhas ak selecionadas no espectro F, constrói-se a função F :
...Os valores de Pj estão então próximos de alguns máximos da parte real de F. Souriau limita então esse espectro às duas linhas a1 = w e a2 = w2 e obtém a curva da figura a seguir, onde são também representadas as razões reais dos planetas.
Figura 4: Posicionamentos prováveis P dos planetas a partir de um espectro construído a partir das duas linhas w e w2
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