Matemática geometria superfícies topologia

Como transformar uma superfície Cross Cap

em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, a escolha é sua)

passando pela superfície romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidade de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 de setembro - 25 de outubro de 2003 **

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Aqui está uma "superfície Cross Cap" (como você a teria descoberto nas imagens de realidade virtual). Ela apresenta dois pontos cuspides que são vértices de uma linha de auto-interseção. Ela pode ser construída apertando um balão com grampos para cabelo. Mas você também pode construir representações poliédricas dela. A que está abaixo nos interessará especialmente.

Na tabela 4, está a coisa mais difícil de aprender. Parece-me impossível que alguém compreenda bem estes objetos simplesmente olhando as figuras. Construa modelos. Em outras palavras, puxe o ponto cuspide C2 para "dentro da superfície" (o que, entre parênteses, não tem nenhum sentido, pois, certamente você já notou, a superfície Cross Cap é unilateral: não tem uma face externa e uma interna). Insistindo, a superfície "se atravessa", e o conjunto de auto-interseção é completado, suavizando um pouco as coisas, com uma curva em forma de 8. Foi criado, por sinal, um ponto triplo T.

A superfície torna-se mais compreensível em sua forma poliédrica e, abaixo, aumentamos certos elementos para mostrar o que nos leva a transformar este objeto em superfície romana de Steiner (veja a simulação de realidade virtual), cuja forma poliédrica mais simples consiste em montar quatro cubos (aqui só vemos três).

Tabela 5: versão poliédrica à esquerda, redonda à direita. A seta passa pelo ponto que vamos "espremer". Mais abaixo, o início da operação de espremer.

Tabela 6: o espremer é feito e cria um ponto singular B. Na verdade, desde que o esprememos de ambos os lados (para economizar tempo), formam-se dois pontos singulares S1 e S1, depois dois pontos cuspides. Neste momento, sem cartolina, tesoura e fita adesiva, você está em apuros.

Tabela 7: aqui simplesmente movemos os diferentes pontos cuspides. Se o ponto C2 é "evidente", você certamente terá mais dificuldade em identificar os pontos C3 e C4 como cuspides. No entanto, eles estão lá, nas extremidades de uma linha de auto-interseção. Acima do ponto C3 está simplesmente o que chamei de "posicono", ou seja, um ponto em que se concentra curvatura positiva (chamo de "negacono" um ponto em que se concentra curvatura negativa). Deformando um pouco este objeto, chega-se à forma poliédrica da superfície romana de Steiner (inventada por Steiner em Roma; veja sua ilustração em realidade virtual).

Assim, o jogo está feito. Existem vários tipos de superfícies, segundo as regras que se impõe. As superfícies que não se auto-interseccionam são chamadas de "embeddings" (da esfera, ou do toro em R3). Quando, por outro lado, se auto-interseccionam, mas o plano tangente varia de forma contínua sem degenerar, são chamadas de imersões. Por exemplo: a garrafa de Klein, em sua representação clássica. Em R3 não existe uma representação da garrafa de Klein sob forma de embedding: ela se auto-intersecciona necessariamente. As imersões possuem conjuntos de auto-interseção sem pontos cuspides. Estes conjuntos são curvas contínuas, mas podem cruzar-se em pontos duplos ou triplas. Observação: a esfera pode ser realizada sob forma de imersão (que não é um embedding), fazendo-a se auto-interseccionar. Na verdade, é assim que se consegue virá-la (cf. o método de A. Phillips, 1967, que tem como passo central o revestimento duplo de uma superfície de Boy; e veja também B. Morin e J. P. Petit, 1979, em que se toma como modelo central o modelo "com quatro orelhas" de Morin, de que aqui você vê uma representação poliédrica que inventei há cerca de dez anos).

Plano
de montagem deste objeto com papel e tesoura

Se estendermos as regras do jogo aceitando que estes objetos também possam ter pontos cuspides, obtemos sommersões (a Cross Cap, a superfície romana de Steiner). Não sei se "sommersão" é o termo certo, mas como não encontrei nenhum matemático que pudesse esclarecer-me sobre isso, achei divertido inventar um, provisoriamente, pelo menos até que um geômetra experiente apareça. Assim, a superfície Cross Cap e a superfície romana de Steiner seriam sommersões do "plano projetivo".

Para ser honesto, depois de vinte e cinco anos de atividade e minhas frustrações em Magnetohidrodinâmica, comecei estes trabalhos porque me pareciam os mais distantes possíveis de qualquer aplicação militar. Mas, como me fez notar meu velho amigo Mihn, o termo "sommersão" poderia causar confusão e fazer a Marinha acreditar que através destas pesquisas eu estaria tentando esconder progressos em propulsão subaquática.

A regra de "criação-dissolução" de pares de pontos cuspides permite passar de uma sommersão de um objeto a outra, e é exatamente o que acabamos de fazer, mostrando que a Cross Cap e a superfície romana de Steiner são duas sommersões do mesmo objeto, conhecido como plano projetivo. Não tente se imaginar um "plano projetivo". Este objeto só pode ser compreendido através de várias representações diferentes. Quanto ao termo "projetivo", não é mais do que um entre mil inventados pelos matemáticos para desviar aqueles que desejam penetrar em seu círculo fechado. O Zanichelli não lhe será útil em matemática.

Resta-nos ver como passar para a superfície de Boy, que é uma imersão do plano projetivo

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