Geometria superfície de Boy modelo poliédrico superfície romana de Steiner

Como transformar uma superfície Cross Cap

em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, a escolha)

passando pela superfície romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidade de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 de setembro - 25 de outubro de 2003 **

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Apresentamos o modelo ainda de outro ponto de vista:

Tabela 14: repetimos sempre a mesma operação criando o terceiro "ouvido" da curva de auto-interseção. No modelo poliédrico, esta última tem a forma de três quadrados com um vértice em comum: o ponto triplo T .

Tabela 15: girando o objeto, você encontrará a versão poliédrica da superfície de Boy que eu apresentei no Topologicon (onde você também pode encontrar um plano de montagem que permite construí-la).

Última tabela: tentei ilustrar a superfície de Steiner enquanto se contorcia e se transformava em superfície de Boy.

Vemos que, desenhada em "redondinho", leva bastante prática para compreendê-la. Nosso olho fica muito desconfortável ao tentar compreender um objeto no qual, sobre uma mesma linha visual, se sobrepõem mais de duas folhas. Daí o interesse pelo modelo poliédrico, que torna acessíveis a qualquer um, se apenas tentar construir os pequenos modelos, transformações consideradas complicadas na geometria. Observamos, por acaso, que, dependendo das pares de pontos cuspídeos escolhidos, obtém-se uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda" (definições completamente arbitrárias). O plano projetivo é imerso no espaço através de duas representações "antiautomorfas" espelhadas. Assim, vemos também que é possível passar de uma superfície de Boy direita para uma superfície de Boy esquerda através de um modelo "central" que é a superfície romana de Steiner.

Seria certamente agradável se esses desenhos fossem publicados em revistas como Pour la Science ou La Recherche. Mas, há vinte anos, estou "proibido" de publicar nesses jornais devido a deviações ufológicas. Obrigado, senhores Hervé This e Philippe Boulanger. Perdi a conta dos artigos desse tipo que enviei a essas revistas e que foram gentilmente recusados. Acaba-se por se acostumar ao próprio status de excomungado.

Como curiosidade, existe um "prêmio d'Alembert" destinado a recompensar os autores de livros de divulgação matemática. A história me foi contada por um membro da comissão encarregada de decidir a quem deveria ser concedido o prêmio (há, no entanto, questões de dinheiro por trás disso). Diálogo:

• No fim das contas, por que não damos o prêmio a Petit? Ele escreveu obras notáveis como o "Géométricon", o "Trou Noir" e o "Topologicon".

• Sim, mas ele não fez apenas isso.

• A que você se refere?

• Ele também escreveu o "Mur du Silence".

• Ah, bem, então...

Sim, o "Mur du Silence", publicado em 1983, é um álbum dedicado à MHD. E, como todos sabemos, essa ciência corrosiva tem como virtude, ou defeito, de permitir que os discos voadores se movam a velocidades supersônicas sem fazer "Bang".

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Tenho em minhas caixas uma versão magnífica do "virar do cubo", que não é a versão poliédrica da variante de Morin. Tudo é da minha autoria. Um dia desses....

22 de outubro de 2003 : Não se se preocupa muito com estas páginas, se acreditar no contador. Segunda-feira, 13 de outubro de 2003, dei uma palestra no CMI (Centro de Matemática e Informática de Château-Gombert-Marselha) convidado por Trotman. Nessa ocasião, pude apresentar uma coleção de cerca de trinta modelos em cartão, cuja primícia vocês poderão apreciar algum dia, pois foram fotografados por Christophe Tardy.

Ao dar uma palestra, cria-se uma certa atmosfera. Na foto abaixo, aqui está um geômetra expressando sua perplexidade.

No fundo, uma parte dos pequenos modelos expostos com a ajuda do meu colaborador de longa data, Boris Kolev, membro do departamento, também geômetra. Em um momento, perguntei:

• Quantos de vocês já viram uma superfície romana de Steiner? Levantem a mão.

Ninguém já tinha visto. Achei então útil apresentar esse objeto, com um programa de realidade virtual, no laptop que eu tinha comigo, programa desenvolvido com a ajuda de Christophe Tardy, engenheiro, e de Frédéric Descamp, do Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Claramente, essa apresentação surpreende o público, pouco acostumado a ver superfícies matemáticas fazerem piruetas à vontade.

Duas tabelas de cartão, visíveis em primeiro plano, permitiram apresentar toda a sequência dos pequenos modelos em sua ordem lógica. Os modelos em verde e amarelo ilustram, em forma poliédrica, o instrumento essencial de criação e dissolução de um par de pontos cuspídeos. O objeto branco mais distante é uma versão poliédrica da superfície Cross Cap, que se transforma primeiro na versão poliédrica da superfície romana de Steiner, depois, a um metro de distância, à vontade, em uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda".

A análise dos pequenos modelos traz várias observações ao público. Um dos geômetras pergunta:

*- Se é verdade que, seguindo os pequenos modelos nessa ordem, é possível passar da superfície Cross Cap para a de Boy, parece que, seguindo o procedimento oposto, é possível transformar uma superfície de Boy em uma Cross Cap. *

Respondo afirmativamente. Encorajado, meu interlocutor acrescenta:

*- Então, se chegarmos ao estágio da superfície romana de Steiner e pararmos, deveria ser possível voltar para uma superfície de Boy, mas refletida em relação à inicial. *

Concordo pela segunda vez. Mas, infelizmente, ninguém se oferecerá para dar alguma explicação sobre esse estranho mundo em que se permite que as imersões de superfícies fechadas tenham pontos cuspídeos, criados ou dissolvidos em pares, cujo conjunto constitui uma espécie de extensão do mundo das imersões. O termo "summersione" me parece conveniente. Se um leitor for capaz de dar alguma explicação, seja bem-vindo.

Curvatura concentrada em um ponto cuspídeo.

A calcularemos somando os ângulos no vértice e comparando essa soma com o resultado obtido no caso do plano euclidiano: 2 p .

No canto superior esquerdo, você pode ver uma das muitas possíveis representações poliédricas de um ponto cuspídeo. "Desmontando" a superfície, chega-se a uma soma de ângulos que ultrapassa o valor 2p por 2a . Conclui-se que a curvatura angular concentrada ao redor deste ponto C é - 2a. Se o ângulo a for igual a p/2, então a curvatura negativa será -p (figura no canto inferior esquerdo). Na verdade, a curvatura de um ponto cuspídeo pode assumir infinitos valores. No canto inferior direito, enfatizamos a soma angular e a curvatura torna-se então < -p (aumentamos a curvatura negativa).

Operando de forma inversa, podemos chegar a uma situação bastante surpreendente: podemos fazer com que a curvatura (angular) concentrada em C seja ... nula:

Agora, partimos de uma representação poliédrica da superfície Cross Cap com dois pontos cuspídeos, cada um com curvatura igual a -p :

Nesta figura, há oito "posiconi" correspondentes com valor + p/2. Adicionamos quatro outros "posiconi" com curvatura + p/4 e quatro "negaconi" com curvatura - p/4.

Mais os dois pontos cuspídeos com curvatura - p .

Total: 2 p

Dividindo o valor dessa "curvatura total" por 2p, recuperamos o valor da característica de Euler-Poincaré de qualquer representação do plano projetivo (ou da superfície de Boy).

Durante a conferência, mencionei a arte e o modo de permutar os dois pontos cuspídeos de uma superfície Cross Cap utilizando o virar...